4、交替基数展开的代数性质及相关应用

交替基数展开的代数性质及相关应用

1. 帕里交替基数的必要条件

若要使 $\beta = (\beta_0, \ldots, \beta_{p - 1})$ 成为帕里交替基数，即对于所有 $i \in {0, \ldots, p - 1}$，$1$ 的 $\beta(i)$ - 展开式最终是周期性的，有如下必要条件：
- 定理 6 ：如果 $\beta$ 是帕里交替基数，那么 $\delta$ 是代数整数，并且对于所有 $i \in {0, \ldots, p - 1}$，$\beta_i \in \mathbb{Q}(\delta)$。
- 这种基数必须能够表示为乘积 $\delta$ 的有理函数的条件，在雷尼计数系统中并未出现。当 $p = 1$ 时，该条件显然满足。这表明，为了理解交替基数的性质，需要新的思路和技术。

2. 交替谱

交替谱是研究交替基数相关计数系统的重要工具。
- 对于实数 $\delta > 1$ 和字母表 $A \subset \mathbb{Z}$ 的谱由 Erdős 等人引入并进一步研究。这里使用广义概念，其中 $\delta \in \mathbb{C}$ 且 $A \subset \mathbb{C}$，并研究其拓扑性质。
- 考虑 $p$ - 元组 $D = (D_0, \ldots, D_{p - 1})$，其中每个 $D_i$ 是包含 $0$ 的整数字母表。定义交替谱 $X_D(\delta)$ 为：
[X_D(\delta) = \left{\sum_{n = 0}^{\ell - 1} c_n\delta^{\ell - 1 - n} :