13、高效算法在多维矩阵运算与路径规划问题中的应用

高效算法在多维矩阵运算与路径规划问题中的应用

多维矩阵运算的高效并行算法

在数据科学领域，高效的高维矩阵计算至关重要，广泛应用于推荐系统、张量计算、多线性代数和数据挖掘等方面。然而，随着矩阵维度和各维度长度的增加，CPU 的计算负担过重，导致性能下降。因此，并行算法成为解决这一问题的关键。

线性化技术

对于一个 $k$ 维矩阵 $M_{d_1d_2d_3…d_k}$，可以通过线性化函数将其表示为一个线性向量 $V$：
$f(x_1x_2…x_k) = d_1d_2…d_{k - 1}x_k + d_1d_2…d_{k - 2}x_{k - 1} + \cdots + d_1x_2 + x_1$
向量的长度为 $L = \sum_{i = 1}^{k} d_k$。该函数有 $k!$ 种使用方式，这里采用相同的函数进行线性化，使对应矩阵的元素以单一方式组织。

多维矩阵加法

假设有两个矩阵 $M_1(x_1 * x_2 * x_3 * \cdots * x_m)$ 和 $M_2(k_1 * k_2 * k_3 * \cdots * k_l)$，只有当 $x_1 = k_1, x_2 = k_2, \cdots, x_m = k_l$ 时，才能进行加法运算。加法操作基于两个多维矩阵的元素逐元素相加，因此线性化技术非常有效。线性化后，将得到的一维向量中相同索引的元素相加，即：
$M_{d_1d_2d_3…d_k} = M_{1d_1d_2d_3…d_k} + M_{2d_1d_2d_3…d_k}$
其中 $d_1, d_2, d_3 \cdots d_k$ 为整数，代表维度。

以 3