HDU-3666 THE MATRIX PROBLEM(差分约束系统判断存在与否+特殊剪枝)

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/yo_bc/article/details/76849662

本文介绍了解决特定矩阵问题的一种算法思路——利用差分约束系统，并结合SPFA算法来判断是否存在符合条件的解。文章详细展示了如何将原始问题转化为差分约束形式，以及如何通过SPFA算法进行负环检测。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给一个N*M的矩阵，是否存在两列数a1,a2,a3...an 和 b1,b2.....bm使得对矩阵中的每个数进行下面的操作之后的值在[L,U]之间，操作为：a[i] * m[i][j] / b[j]。 N,M<=400

思路：

首先能得到式子 L <= c[ij]*a[i]/b[j] <= R，然后同时除以c[ij]得 L' <= a[i]/b[j] <= R'，再取log我们就得到了两个不等式：
log(a[i]) - log(b[j]) >= L'
log(a[i]) - log(b[j]) <= R'

由于a(i),b(j)都可取任何值，所以不必进行约束条件，至此所有约束条件用完了，于是建图差分约束即可。

SPFA判断负环时被卡点：
在网上看到两种优化，
(1)不必判断某一个点入队次数大于N,只要判断是否大于sqrt(1.0*N)。
(2)或者所有点的入队次数大于T*N，即存在负环，一般T取2。
其中，N为所有点的个数。

但是，第二个优化在本题就用不了，第一个的正确性也不得而知，所以做题时先正常地>N，没办法再尝试这个优化。

代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 805;
const int maxm = 160005*2;
struct node
{
	int v, next;
	double w;
}edge[maxm];
int no, head[maxn];
int vis[maxn], cnt[maxn];
double dis[maxn];
queue<int> q;
int N, M, L, R;
inline void init()
{
	no = 0;
	memset(head, -1, sizeof head);
}
inline void add(int u, int v, double w)
{
	edge[no].v = v; edge[no].w = w;
	edge[no].next = head[u]; head[u] = no++;
}
int SPFA()
{
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	fill(dis+1, dis+N+M+1, inf);
	memset(cnt, 0, sizeof cnt);
	while(!q.empty()) q.pop();
	dis[1] = 0;
	q.push(1); vis[1] = 1;
	while(!q.empty())
	{
		int u = q.front(); q.pop();
		vis[u] = 0; ++cnt[u];
		if(cnt[u] > sqrt(N+M)) return -1;
		for(int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
		{
			int v = edge[k].v;
			if(dis[v] > dis[u]+edge[k].w)
			{
				dis[v] = dis[u]+edge[k].w;
				if(!vis[v]) vis[v] = 1, q.push(v);
			}
		}
	}
	return 1;
}
int main()
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	int x;
	while(~scanf("%d %d %d %d", &N, &M, &L, &R))
	{
		init();
		for(int i = 1; i <= N; ++i)
		for(int j = 1; j <= M; ++j)
		{
			scanf("%d", &x);
			double _L = log(1.0*L/x);
			double _R = log(1.0*R/x);
			add(i, N+j, -_L);
			add(N+j, i, _R);		
		}
		if(SPFA() != -1) puts("YES");
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}

差分约束：当题目中存在大于某数小于某数，求两个变量之间的至少值最多值，在大于小于约束条件下的成不成功存不存在，都要尝试考虑考虑差分约束！然后再尝试构建减法，除法通过取log构建减法，但加法和乘法貌似不可行，因为对第二个数取负会是什么意义？第二个数是为了代表一个点啊！不过某些题估计也可行，遇到题目再分析吧。

继续加油~