AtCoder Grand Contest 036D - Negative Cycle

本文针对一场AtCoder Grand Contest中的难点问题进行深入分析,提出了一种有效的解决方案。通过构造特定数组和使用动态规划的方法,实现了在给定条件下寻找最小删边代价的目标。详细介绍了算法思路、时间复杂度及具体实现。

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神仙题?反正我是完全想不到哇QAQ
这场AGC真的很难咧×10086\times 10086×10086

Description\bf DescriptionDescription

一张 nnn 个点的图,iiii+1i+1i+1 有连边。
现在来了个Snuke,他会给所有 (i,j),i≠j(i,j) ,i ≠ j(i,j),i̸=j 连边(我也不知道为什么这个不等号会变成这样),如果 i&lt;ji&lt;ji<j ,边权为 −1-11 ,否则为 111
然鹅Ringo不想要图里有负环,所以他会删去Snuke加的一些边,使得图中没有负环,删除一条边有个代价,问最小的删边代价。3≤n≤5003 \leq n \leq 5003n500

Solution\bf SolutionSolution

(官方题解是从 000 标号的,我是从 111 标号的,所以有一点点不一样)
对于一个没有负环的图,我们可以弄出这样一个数组 ppp 满足

  • 对于任意 iiijjj 的边,满足 pj≤pi+weight(i,j)p_j \leq p_i + weight(i,j)pjpi+weight(i,j),(weight是权值,不是代价)

显然这个 pip_ipi 是存在的,比如说是 111iii 的最短路。
然后令 qi=pi−pi+1q_i=p_i-p_{i+1}qi=pipi+1 ,于是

  • 对于一条 i→j(i&gt;j)i → j (i&gt;j)ij(i>j) 的边,必须满足 pj≤pi+1p_j \leq p_i+1pjpi+1,即 qj+qj+1+⋯+qi−1≤1q_j+q_{j+1}+ \cdots + q_{i-1} \leq 1qj+qj+1++qi11
  • 对于一条 i→j(i&lt;j)i → j (i&lt;j)ij(i<j) 的边,必须满足 pj≤pi−1p_j \leq p_i-1pjpi1,即 qi+qi+1+⋯+qj−1≥1q_i+q_{i+1}+ \cdots + q_{j-1} \geq 1qi+qi+1++qj11

可以发现只用考虑 0≤qi≤10 \leq q_i \leq 10qi1的情况 。

现在问题就简单了,对于一个 qqq ,只要把不符合上述条件的边都删掉就行。

f[i][j]f[i][j]f[i][j] 长度为 jjj 的数组里最后一个 111jjj ,倒数第二个在 iii ,的最小删边代价。(和官方题解是反的)
当我们从 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 转移到 f[j][k]f[j][k]f[j][k] 时,要删去这样两种边:

  • b→a (b&gt;a),i&lt;a≤j,b&gt;kb → a \ (b&gt;a), i&lt;a \leq j, b&gt;kba (b>a),i<aj,b>k (因为 bbbaaa 有两个 111 了所以就不行)
  • a→b,j&lt;a&lt;b≤ka → b, j&lt;a&lt;b \leq kab,j<a<bk (因为 aaabbb 没有 111 了所以就不行)

用前缀和就可以 O(1)O(1)O(1) 转移啦。
时间复杂度 O(n3)O(n^3)O(n3)

具体实现的话,用 w[i][j]w[i][j]w[i][j] 表示 1≤a≤i,j≤b≤n1 \leq a \leq i , j \leq b \leq n1ai,jbn ,所有 b→ab → aba 边的权值和
vv[i][j]vv[i][j]vv[i][j] 表示 i≤a&lt;b≤ji \leq a &lt; b \leq jia<bj ,所有 a→ba → bab 边的权值和。
预处理一下就可以转移了。

q0q_0q0qn+1q_{n+1}qn+1 强制为 111 可以省去对边界的特判。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define fr(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define rf(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define frl(i,x,y) for(int i=(x);i<(y);i++)
using namespace std;
const int N=505;
const int p=998244353;
int n;
int a[N][N];
LL w[N][N],vv[N][N];
LL f[N][N];

void read(int &x){ scanf("%d",&x); }
void read(LL &x){ scanf("%lld",&x); }

LL vwv(int a,int b,int c){
	return w[b][c]-w[a-1][c];
}

void chkmin(LL &x,LL y){
	if (y<x) x=y;
}

int main(){
	read(n);
	fr(i,1,n)
	 fr(j,1,n)
	  if (i!=j) read(a[i][j]);
	fr(i,1,n)
	 rf(j,n,i+1){
	 	w[i][j]=w[i][j+1];
	 	fr(k,1,i) w[i][j]+=a[j][k];
	 }
	fr(i,1,n)
	 fr(j,i+1,n+1){
	 	vv[i][j]=vv[i][j-1];
	 	fr(k,i,j-1) vv[i][j]+=a[k][j];
	 }
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[0][0]=0;
	fr(i,0,n)
	 fr(j,i,n)
	  if (f[i][j]<1e18){
	  	fr(k,j+1,n+1)
	  	 chkmin(f[j][k],f[i][j]+vv[j+1][k]+vwv(i+1,j,k+1));
	  }
	LL ans=1e18;
	fr(i,0,n) chkmin(ans,f[i][n+1]);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}
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