神仙题?反正我是完全想不到哇QAQ
这场AGC真的很难咧×10086\times 10086×10086
Description\bf DescriptionDescription
一张 nnn 个点的图,iii 到 i+1i+1i+1 有连边。
现在来了个Snuke,他会给所有 (i,j),i≠j(i,j) ,i ≠ j(i,j),i̸=j 连边(我也不知道为什么这个不等号会变成这样),如果 i<ji<ji<j ,边权为 −1-1−1 ,否则为 111 。
然鹅Ringo不想要图里有负环,所以他会删去Snuke加的一些边,使得图中没有负环,删除一条边有个代价,问最小的删边代价。3≤n≤5003 \leq n \leq 5003≤n≤500
Solution\bf SolutionSolution
(官方题解是从 000 标号的,我是从 111 标号的,所以有一点点不一样)
对于一个没有负环的图,我们可以弄出这样一个数组 ppp 满足
- 对于任意 iii 到 jjj 的边,满足 pj≤pi+weight(i,j)p_j \leq p_i + weight(i,j)pj≤pi+weight(i,j),(weight是权值,不是代价)
显然这个 pip_ipi 是存在的,比如说是 111 到 iii 的最短路。
然后令 qi=pi−pi+1q_i=p_i-p_{i+1}qi=pi−pi+1 ,于是
- 对于一条 i→j(i>j)i → j (i>j)i→j(i>j) 的边,必须满足 pj≤pi+1p_j \leq p_i+1pj≤pi+1,即 qj+qj+1+⋯+qi−1≤1q_j+q_{j+1}+ \cdots + q_{i-1} \leq 1qj+qj+1+⋯+qi−1≤1
- 对于一条 i→j(i<j)i → j (i<j)i→j(i<j) 的边,必须满足 pj≤pi−1p_j \leq p_i-1pj≤pi−1,即 qi+qi+1+⋯+qj−1≥1q_i+q_{i+1}+ \cdots + q_{j-1} \geq 1qi+qi+1+⋯+qj−1≥1
可以发现只用考虑 0≤qi≤10 \leq q_i \leq 10≤qi≤1的情况 。
现在问题就简单了,对于一个 qqq ,只要把不符合上述条件的边都删掉就行。
用 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 长度为 jjj 的数组里最后一个 111 在 jjj ,倒数第二个在 iii ,的最小删边代价。(和官方题解是反的)
当我们从 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 转移到 f[j][k]f[j][k]f[j][k] 时,要删去这样两种边:
- b→a (b>a),i<a≤j,b>kb → a \ (b>a), i<a \leq j, b>kb→a (b>a),i<a≤j,b>k (因为 bbb 到 aaa 有两个 111 了所以就不行)
- a→b,j<a<b≤ka → b, j<a<b \leq ka→b,j<a<b≤k (因为 aaa 到 bbb 没有 111 了所以就不行)
用前缀和就可以 O(1)O(1)O(1) 转移啦。
时间复杂度 O(n3)O(n^3)O(n3)
具体实现的话,用 w[i][j]w[i][j]w[i][j] 表示 1≤a≤i,j≤b≤n1 \leq a \leq i , j \leq b \leq n1≤a≤i,j≤b≤n ,所有 b→ab → ab→a 边的权值和
vv[i][j]vv[i][j]vv[i][j] 表示 i≤a<b≤ji \leq a < b \leq ji≤a<b≤j ,所有 a→ba → ba→b 边的权值和。
预处理一下就可以转移了。
另 q0q_0q0 和 qn+1q_{n+1}qn+1 强制为 111 可以省去对边界的特判。
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define fr(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define rf(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define frl(i,x,y) for(int i=(x);i<(y);i++)
using namespace std;
const int N=505;
const int p=998244353;
int n;
int a[N][N];
LL w[N][N],vv[N][N];
LL f[N][N];
void read(int &x){ scanf("%d",&x); }
void read(LL &x){ scanf("%lld",&x); }
LL vwv(int a,int b,int c){
return w[b][c]-w[a-1][c];
}
void chkmin(LL &x,LL y){
if (y<x) x=y;
}
int main(){
read(n);
fr(i,1,n)
fr(j,1,n)
if (i!=j) read(a[i][j]);
fr(i,1,n)
rf(j,n,i+1){
w[i][j]=w[i][j+1];
fr(k,1,i) w[i][j]+=a[j][k];
}
fr(i,1,n)
fr(j,i+1,n+1){
vv[i][j]=vv[i][j-1];
fr(k,i,j-1) vv[i][j]+=a[k][j];
}
memset(f,0x3f,sizeof f);
f[0][0]=0;
fr(i,0,n)
fr(j,i,n)
if (f[i][j]<1e18){
fr(k,j+1,n+1)
chkmin(f[j][k],f[i][j]+vv[j+1][k]+vwv(i+1,j,k+1));
}
LL ans=1e18;
fr(i,0,n) chkmin(ans,f[i][n+1]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}