TopCoder SRM 572 Div2 1000 DistinctRemainders

最新推荐文章于 2021-08-21 14:47:52 发布

ymzqwq

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分类专栏： TopCoder TopCoder部分题解文章标签： TopCoder

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博客围绕KK个数模mm两两互不相同的问题展开，类似0/1背包，采用DP方法，用f[i][j]表示ii个在[0,M−1]的数和为jj的方案数。分析了f[i][j]对答案的贡献，考虑数加mm整数倍后模不变但和增大的情况，还将方案数计算进一步简化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目说了 $K$ 个数模 $m$ 两两互不相同，有点类似0/1背包，每个剩余类只能选一个，可以用 $f[i][j]$ 表示 $i$ 个在 $[0,M-1]$ 的数和为 $j$ 的方案数，DP一波。
对于 $f[i][j]$ ，若 $j \equiv N (mod\ M)$ 且 $j<=N$ ，则对答案的贡献为

f [i] [j] * C ((N - j) / M + i - 1, i - 1) * i!

$f[i][j]*C((N-j)/M+i-1,i-1)*i!$

为什么呢？考虑给每个数加上 $m$ 的整数倍之后模 $m$ 不会发生变化，所以肯定还是符合模 $m$ 两两互不相同，然而和却神不知鬼不觉地增大了。所以要使总和为 $N$ 就相当于把 $(N-j)/M$ 个 $M$ 分给 $i$ 个数，套用经典的小球模型就是把 $(N-j)/M$ 个小球分给 $i$ 个盒子，可以为空，这个方案数是 $C((N-j)/M+i-1,i-1)$ ，题目里是有序的，所以还要乘个阶乘。

为方便计算，上式进一步简化就是 $f[i][j]*A((N-j)/M+i-1,i-1)*i$

代码中的变量名和题目不太一样

//tc is healthy, just do it
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2501;
const int M=51;
const int p=1e9+7;
ll f[M][N];

class DistinctRemainders {
public:
    int howMany( long long N, int M );
};

void Add(ll &x,ll y){
    x+=y;
    while(x>=p) x-=p;
}

ll A(ll n,int m){
    if (n<m) return 0;
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
     ans=ans*((n-i+1)%p)%p;
    return ans;
}

int DistinctRemainders::howMany(long long s, int m) {
    f[0][0]=1;
    int sum=0;
    for(int i=0;i<m;i++){
        sum+=i;
        for(int j=i+1;j;j--)  //这里要倒着for，原理类似于0/1背包的倒着for
         for(int k=i;k<=sum;k++)
          Add(f[j][k],f[j-1][k-i]);
    }
    ll y=s%m;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
     for(ll j=y;j<=s&&j<=sum;j+=m)
      Add(ans,f[i][j]*A((s-j)/m+i-1,i-1)%p*i%p);
    return (int)ans;
}