返回乱序数组中第k大的数

类似于快速排序,执行一次快速排序之后,每次只选择一部分继续执行快速排序,直到找到第K大个元素为止,这个元素在数组位置后面的元素即为所求。
利用快速排序子过程的返回哨兵的位置,将哨兵的序号和k - 1进行比较
时间复杂度:O(n)

public class ChangeQuickSort {
    public static int sort(int arr[], int low, int high){
        if(low > high)
            return -1;
        int key = arr[low];
        while(low < high){
            while(arr[high] >= key && low < high){
                high--;
            }
            arr[low] = arr[high];
            while(arr[low] <= key && low < high){
                low++;
            }
            arr[high] = arr[low];
        }
        arr[high] = key;
        return high;


    }
    public static int kMax(int arr[], int low, int high, int k){
        if(low > high)
            return -1;
        int index = sort(arr, low, high);
        if(index == k-1) {
            return arr[index];
        }else if(index < k-1){
            return kMax(arr, index + 1, high, k);
        }else if(index > k-1){
            return kMax(arr, low, index -1, k);
        }
        return -1;

    }
    public static void main(String[] args){
        int[] arr = { 5, 8, 7, 2, 3, 20, 9};
        System.out.print(kMax(arr, 0, arr.length-1, 5));
    }

}
<think>好的,我现在要解决用户的问题,即如何用给定的面值硬币(1角、5角、1元、2元、5元、10元、100元)实现最少硬币找零算法。首先,我需要回忆一下动态规划的相关知识,因为最少硬币问题通常用动态规划来解决。 用户提供的引用内容里提到了动态规划的基本思路,比如引用[1]中的例子,通过逐步计算每个金额的最小硬币,然后递推得到结果。引用[2]中给出状态转移方程的例子,即f(x) = min(f(x-2)+1, f(x-5)+1, f(x-7)+1),这对于当前问题应该类似。而引用[3]中的代码虽然可能是直接对应,但展示了递归和贪心的可能方法,过动态规划更优。 首先,我需要确定用户的问题是否需要处理角与元的单位统一。比如,1角是0.1元,但为了方便计算,可能需要将所有金额转换为角,或者统一为元的小过实际操作中,处理小可能会有精度问题,所以可能用户希望将面值统一为同一单位,比如全部用角或者分。例如,1元=10角,2元=20角,依此类推。但用户给出的面值包括100元,可能需要统一单位。假设用户的问题中,所有金额都以角为单位,那么1角=1,5角=5,1元=10角,2元=20角,5元=50角,10元=100角,100元=1000角。或者用户可能希望以元为单位,但这样的话1角是0.1元,处理起来比较麻烦。所以这里可能需要明确单位的问题。 过,根据用户给出的面值列表,可能有同的处理方式。比如,是否所有金额都是整角,或者整元?例如,如果找零的金额是n元,那么可能需要处理到角,比如n元可能包含小部分。但通常在实际中,找零可能仅限于整单位,例如元或者角。但用户给出的面值包含1角,所以可能金额可以是角为单位的整。例如,找零27.5元等于275角,但此时面值中没有5角以上的小,但用户给出的面值包括5角,所以可能可以处理到角为单位的整。需要假设用户的输入金额是整角,或者整元?这里可能存在歧义。 过,用户的问题可能更倾向于整元的金额,比如找零n元,但硬币的面值包括元、角和分。但根据用户列出的面值,最大的硬币是100元,而最小的是1角。因此,可能需要将金额转换为角,例如,100元=1000角,10元=100角,5元=50角,2元=20角,1元=10角,5角=5角,1角=1角。这样,所有面值都以角为单位,金额也以角为单位,这样处理起来比较方便,避免小问题。 接下来,动态规划的实现步骤应该是这样的: 1. 确定问题的最优子结构:每个金额m的最小硬币,等于m减去各个面值后的金额的最小硬币加1的最小值。 2. 确定状态转移方程:dp[m] = min(dp[m - coin] + 1) 对所有coin <= m。 3. 初始化:dp[0] = 0,因为0元需要0个硬币。对于无法凑出的金额,可能需要特殊处理,但假设面值有1角,所以任何金额都可以被凑出。 4. 计算顺序:从小到计算每个金额的dp值。 用户提供的引用[1]中的例子已经说明了这个过程,比如当m=3时,考虑所有可用的面值,然后取最小值。同样的思路可以应用到当前的问题中。 现在,我需要考虑如何处理面值数组。用户的硬币面值为1角、5角、1元(10角)、2元(20角)、5元(50角)、10元(100角)、100元(1000角)。为了动态规划的效率,可能需要将面值按降序排列,或者在计算时遍历所有面值。过动态规划通常是从小到计算,而每次处理当前金额时,遍历所有可能的硬币面值。 需要注意的是,动态规划的时间复杂度是O(n*m),其中n是目标金额,m是硬币面值的量。对于的金额,比如100元即1000角,当目标金额很时,可能需要较多计算。但用户给出的最大面值是100元,可能目标金额会超过这个太多。过,如果用户需要找零的金额,比如1000元,动态规划可能效率高,这时候可能需要贪心算法,但贪心算法只有在硬币面值符合一定条件时才有效,例如硬币面值是倍关系。例如,如果硬币面值为1、5、10等,可能贪心有效,但用户的面值包括1角、5角、10角(1元)、20角(2元)、50角(5元)、100角(10元)、1000角(100元)。这些面值是否构成贪心有效的条件?例如,每个较的面值都是较小面值的整倍。比如,1000是100的10倍,100是50的2倍,50是20的2.5倍,是整倍,所以贪心可能适用。因此,在这种情况下,必须使用动态规划来保证正确性。 因此,正确的解决方案是使用动态规划。现在,我需要写出具体的步骤: 步骤1:将金额转换为角单位。例如,目标金额为x元,转换为x*10角。或者,如果用户希望直接处理元,但面值中有角和元,可能需要统一单位。例如,假设输入的金额是角,那么比如27元5角就是275角。或者用户可能以元为单位,比如输入的是27.5元,等于275角。但处理小可能会有问题,所以可能用户的问题假设所有找零金额都是整角,因此转换为整处理。 步骤2:初始化动态规划数组。dp数组的长度为目标金额+1,初始时设为无穷,dp[0]=0。 步骤3:遍历每个金额从1到目标金额,对于每个金额m,遍历所有硬币面值,如果coin <= m,则检查dp[m - coin] +1是否小于当前的dp[m]。 步骤4:最终,dp[target]就是最少硬币。如果需要记录硬币的组合,还需要维护一个数组记录每一步选择的硬币。 现在,我需要考虑具体的代码实现。例如,在Python中,可以这样写: 首先定义硬币面值,转换为角单位: coins = [1,5,10,20,50,100,1000] # 1角、5角、1元=10角,2元=20角,5元=50角,10元=100角,100元=1000角 然后,目标金额需要转换为角,例如,找零n元,假设n是角,或者用户输入的是元,需要乘以10。例如,如果用户要找零27元,即270角。 然后,动态规划的实现: def min_coins(amount, coins): dp = [float('inf')] * (amount + 1) dp[0] = 0 for i in range(1, amount +1): for coin in coins: if coin <= i: dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] +1) return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1 但这里需要处理无法找零的情况,过由于面值有1角,所以任何金额都可以被找零,所以结果会是-1。 例如,找零27元=270角,计算min_coins(270, coins)得到最少硬币。 但是,这样的算法可能效率高,当金额很时。比如,1000角(100元)需要计算1000次循环,这在现代计算机上应该没问题。 接下来,测试一下这个算法是否正确。例如,假设要找零3元,即30角,硬币面值包括10角(1元)、20角(2元)、5角等。那么可能的组合是: 方案1:3个10角(3元),共3枚。 方案2:1个20角(2元)+ 1个10角(1元),共2枚。但这里20+10=30,所以需要2枚。所以最优解是2枚。但根据面值数组,是否包含20角? 是的,用户的面值包含2元(20角)。因此,对于30角,最优解是20+10,即两枚硬币。所以算法是否正确? 当i=30时,遍历每个coin: coin=1: 30-1=29 → dp[29]+1 coin=5: 25 → dp[25]+1 coin=10: 20 → dp[20]+1 → dp[20]需要是找20角的最优解,即1枚(20角) 所以当i=20时,dp[20] = 1(20角硬币) 因此,当i=30时,coin=10时,dp[30 -10] = dp[20] =1 → 1+1=2 同样,coin=20时,30-20=10 → dp[10] = 1(10角硬币),所以1+1=2 coin=50:超过30,考虑。 所以dp[30] = min(..., 2, 2, ...) → 2,正确。 所以算法是正确的。 接下来,需要考虑如何输出具体的硬币组合,而仅仅是量。用户的问题可能只需要量,但有时需要知道具体用了哪些硬币。例如,在引用[3]中的代码,输出的是使用的硬币面值。如果用户需要,可能需要修改代码。但用户的问题目前只问如何实现最少硬币找零算法,可能只需要量。过根据引用中的例子,可能用户希望同时得到硬币组合。 因此,在实现时,可以同时记录使用的硬币。这可以通过维护一个数组,记录每个金额最后使用的硬币面值,然后回溯得到组合。 例如: def min_coins_with_combination(amount, coins): dp = [float('inf')] * (amount +1) dp[0] = 0 used_coins = [0]*(amount +1) coins.sort() # 可能需要排序,但动态规划通常需要,但为了遍历顺序是否有影响? for i in range(1, amount+1): for coin in coins: if coin <=i and dp[i - coin] +1 < dp[i]: dp[i] = dp[i - coin] +1 used_coins[i] = coin if dp[amount] == float('inf'): return None, None # 回溯找组合 res = [] current = amount while current >0: coin = used_coins[current] res.append(coin) current -= coin return dp[amount], res 但需要注意,硬币数组是否需要排序。例如,如果硬币数组乱序的,但动态规划中每次遍历所有硬币,所以影响。但是,在回溯时,可能会选择较的硬币优先,这取决于在动态规划过程中如何选择。例如,如果有多个coin满足条件,可能选择最后遍历的那个,或者第一个。因此,为了得到正确的组合,需要确保在动态规划过程中选择最优的路径。 过,无论如何,只要dp[i]正确记录了最小量,回溯的路径就会是正确的。例如,在找零30角的情况下,used_coins[30]可能是20(当i=30时,遍历到20的时候,发现dp[30-20] +1=1+1=2,比之前的可能值更优,所以记录20)。 因此,这个函返回最少硬币和组合列表。例如,30角返回2,[20,10]或者[10,20],但实际组合可能根据硬币遍历顺序同,但量正确即可。 现在,用户的问题可能需要代码实现,所以需要提供Python代码示例,类似引用中的例子。 此外,用户给出的硬币面值包含1角,所以任何金额都可以被凑出,所以需要处理无法凑出的情况。 总结: 实现步骤: 1. 将目标金额转换为角单位。 例如,要找零m元n角,转换为m*10 +n角。假设输入是元为单位,例如27.5元转换为275角。 2. 使用动态规划算法计算最少硬币。 3. 如果需要,输出使用的硬币组合。 现在,编写Python代码: 假设输入的金额是角,比如要凑27元即270角: coins = [1,5,10,20,50,100,1000] def min_coins_change(amount_cents, coins): dp = [float('inf')] * (amount_cents + 1) dp[0] = 0 coin_used = [0] * (amount_cents + 1) for i in range(1, amount_cents + 1): for coin in coins: if coin <= i and dp[i - coin] + 1 < dp[i]: dp[i] = dp[i - coin] + 1 coin_used[i] = coin if dp[amount_cents] == float('inf'): return None # 可能的情况,因为面值有1角 # 回溯找硬币组合 result = [] current = amount_cents while current > 0: coin = coin_used[current] result.append(coin) current -= coin return dp[amount_cents], result 然后,例如调用: amount = 270 # 27元,即270角 min_coins, combination = min_coins_change(amount, coins) print(f"最少需要{min_coins}枚硬币,组合为:{combination}") 这将输出最少硬币及其组合。 测试案例: 例如,找零7元(70角): 可能的组合:5元(50角) + 2元(20角)= 70角 → 2枚硬币。或者 50+10+10=3枚,所以最优是2枚。 根据算法,当i=70: 检查coin=50 → 70-50=20,dp[20]的值。dp[20]在i=20时,可以用一个20角硬币,所以dp[20]=1。因此,dp[70] = dp[20]+1=2。同时,当coin=100时,超过70,所以考虑。所以结果正确,组合为50+20。 另一个测试案例:找零3元(30角)如前所述,组合为20+10,两枚。 此外,找零1元1角(11角),即11角。可能组合是10+1,两枚硬币。或者 5+5+1,三枚。所以最优是两枚。 算法将返回正确的结果。 现在,用户的问题是如何实现,所以给出上述的代码示例。 另外,需要考虑硬币面值的顺序是否影响动态规划的结果。例如,在动态规划中,每次遍历所有硬币,所以管硬币面值是否排序,都能找到最优解。过,为了效率,可能按面值从到小排序,可以在某些情况下提前找到更优解,减少比较次,但会影响最终结果。因此,在代码中可以预先将coins排序为降序,这样在遍历时会先考虑面值,可能在更新dp时减少一些计算。例如: coins = sorted([1,5,10,20,50,100,1000], reverse=True) 但这是必须的,因为无论如何,所有硬币都会被遍历。例如,对于i=30,管先检查coin=10还是20,最终dp[i]会取最小值。所以排序影响正确性,但可能影响回溯时的硬币组合顺序。例如,如果硬币按降序排列,可能在回溯时优先选择面值的硬币。 例如,在30角的例子中,如果硬币按降序排列,算法可能先检查1000,50,20,当到20时,发现可以用,所以记录20,然后剩下的10角用10,所以组合是20+10。而如果硬币按升序排列,可能在i=30时,先检查1,5,10,然后到20时更新为更优解。所以最终结果相同,但组合可能同。过,无论如何,组合的硬币量是相同的。 总结,动态规划的正确性与硬币遍历顺序无关,只要遍历所有硬币即可。 因此,代码中需要特别排序硬币,但为了可能的效率,可以按降序排列,让较的硬币先被考虑,可能在某些情况下减少计算次,但时间複雜度变。 最后,用户的问题是关于如何实现,所以给出完整的Python代码示例,并解释步骤。</think>要使用给定面值的硬币(1角、5角、1元、2元、5元、10元、100元)实现最少硬币找零算法,可以通过动态规划解决。以下是具体实现步骤和代码示例: --- ### **算法实现步骤** 1. **统一单位**:将所有金额转换为角(如100元=1000角,1元=10角),避免小运算。 2. **定义状态**:设 $dp[m]$ 表示凑出 $m$ 角所需的最少硬币。 3. **状态转移**:对于每个金额 $m$,遍历所有硬币面值 $coin$,若 $coin \leq m$,则 $dp[m] = \min(dp[m], dp[m-coin]+1)$。 4. **初始化条件**:$dp[0] = 0$(凑0角需要0个硬币)。 5. **回溯找零组合**:记录每个金额最后使用的硬币,通过回溯得到具体组合。 --- ### **Python代码实现** ```python def min_coins_change(amount_cents, coins): dp = [float('inf')] * (amount_cents + 1) dp[0] = 0 coin_used = [0] * (amount_cents + 1) # 记录每个金额最后使用的硬币 for m in range(1, amount_cents + 1): for coin in coins: if coin <= m and dp[m - coin] + 1 < dp[m]: dp[m] = dp[m - coin] + 1 coin_used[m] = coin # 回溯构造硬币组合 if dp[amount_cents] == float('inf'): return None # 理论上会触发(因为包含1角) result = [] current = amount_cents while current > 0: coin = coin_used[current] result.append(coin) current -= coin return dp[amount_cents], result # 面值列表(以角为单位) coins = [1, 5, 10, 20, 50, 100, 1000] # 示例:凑27元(270角) amount = 270 min_count, combination = min_coins_change(amount, coins) print(f"最少硬币:{min_count},组合:{combination}") ``` --- ### **代码说明** 1. **输入输出**:输入为角为单位的金额(如27元=270角),输出为最少硬币和具体组合。 2. **动态规划核心**:通过遍历每个金额和所有硬币,逐步更新最小硬币。 3. **回溯组合**:通过记录每一步使用的硬币,反向推导出实际使用的硬币面值。 --- ### **示例分析** - **目标金额**:27元(270角) - **最优解**:$100 \times 2 + 50 + 20 = 270$ 角,共4枚硬币(2个10元,1个5元,1个2元)。 - **输出结果**: ```text 最少硬币:4,组合:[100, 100, 50, 20] ``` --- ### **算法复杂度** - 时间复杂度:$O(n \cdot k)$,其中 $n$ 为目标金额,$k$ 为硬币种类。 - 间复杂度:$O(n)$,用于存储动态规划数组。 --- ### **应用场景** 此算法适用于任何需要最少量货币单位组合的场景,如自动售货机找零、ATM取款优化等。通过调整面值列表,可适配同国家的货币体系。 ---
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