《C》C语言实现FFT算法

一、什么是FFT？

DFT虽好，但是其计算的次数太多，不利于大数据量的计算，FFT是DFT的快速算法，可以节省大量的计算时间，快速傅里叶变换（FFT）是一种能在O(nlogn)的时间内将一个多项式转换成它的点值表示的算法。

• 点值表示法：

  设一个函数f(x)为n-1次多项式，带入一个n个不同的x会得到n个不同的y，这n对(x,y)唯一确定了该多项式，即只有一个多项式能同时满足“代入这些x，得到的分别是这些y”。

二、FFT的目的

FFT可以用来加速多项式乘法。假设有两个n−1次多项式A(x)和B(x)，我们的目标是——把它们乘起来。
普通的多项式乘法的复杂度是O(n2)的，我们要枚举A(x)中的每一项，分别与B(x)中的每一项相乘，来得到一个新的多项式C(x)。
但是，如果A(x)，B(x)两个多项式用点值表示的方法进行相乘，复杂度是O(n)的。具体方法：C(xi)=A(xi)×B(xi)，所以枚举xi即可。
要是我们把两个多项式转换成点值表示，再相乘，再把新的点值表示转换成多项式岂不就可以O(n)的复杂度来解决多项式乘法了！
显然，把多项式转换成点值表示的朴素算法是$O(n^2)$的。难道大整数乘法就只能是$O(n^2)$吗？不甘心的同学可以发现，大整数乘法复杂度的瓶颈可能在“多项式转换成点值表示”这一步做改进，只要完成这一步就可以O(n)的复杂度求答案了。傅里叶变换的发明就是为完成这个使命。

三、FFT过程分析

1. 复数的引入

傅里叶规定点值表示中的n个x为n个模长为1的复数。
而这n个复数不是随机寻找的，而是把单位圆（圆心为原点、1为半径的圆）n等分，取这n个点所表示的复数，即分别以这n个点的横坐标为实部、纵坐标为虚部，所构成的复数。

从点(1,0)开始，逆时针将这n个点从0开始编号，第k个点对应的虚数记作$w_n^k$，根据复数相乘时模长相乘幅角相加可以看出，$w_n^k$是$w_n^1$的k次方，所以$w_n^1$被称为n次单位根。
根据每个复数的幅角，可以计算出所对应的点。$w_n^k$对应的点是$(cos2\pi \frac{k}{n},sin2\pi \frac{k}{n})$，也就是说这个复数是$cos2\pi \frac{k}{n}+isin2\pi \frac{k}{n}$。
把这n个复数${\omega }_n^0,{\omega }_n^1,{\omega }_n^2,...,{\omega }_n^{n-1}$代入多项式，能得到一种特殊的点值表示，这种点值表示就叫离散傅里叶变换

2. 分治的思想

我们要计算n个采样点
​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ $$p=p_0，p_1，...，p_{n-1}$$
的傅里叶变换，可以归结为计算多项式
​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ $$f(x)=p_0+p_{1}x+p_{2}x+...+p_{}$$