【C语言实现快速傅里叶变换（FFT）算法】

C语言实现快速傅里叶变换（FFT）算法

快速傅里叶变换（FFT）是一种用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的高效算法。FFT 在信号处理、图像处理、音频分析等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍 FFT 的算法原理，并用 C 语言实现这一复杂的算法。

算法原理

1. 傅里叶变换简介

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学变换。

2. 快速傅里叶变换（FFT）

FFT 是一种高效计算 DFT 的算法，能够将计算复杂度从 (O(N^2)) 降低到 (O(N \log N))。FFT 通过分治法将 DFT 分解为更小的 DFT 计算，利用对称性和周期性特性来减少计算量。

2.1 分治法

FFT 将一个长度为 (N) 的 DFT 分解为两个长度为 (N/2) 的 DFT。具体步骤如下：

• 将输入信号分为奇数和偶数两部分。
• 分别对这两部分进行 DFT 计算。
• 合并结果，得到完整的 DFT。

2.2 蝶形运算

在合并阶段，FFT 使用蝶形运算来组合奇数和偶数部分的结果。蝶形运算的公式为：

[
X[k] = E[k] + W_N^k \cdot O[k]
]
[
X[k + N/2] = E[k] - W_N^k \cdot O[k]
]

其中，(E[k]) 和 (O[k]) 分别是偶数和奇数部分的 DFT，(W_N^k = e^{-j \frac{2\pi}{N} k}) 是旋转因子。

C语言实现

下面是用 C 语言实现的 FFT 算法代码。为了简化实现，我们假设输入信号的长度 (N) 是 2 的幂。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

typedef struct {
   
    double real;
    double imag;
} Complex;

// 计算复数的乘积
Complex complex_multiply(Complex a, Complex b) {
   
    Complex result;
    result.real = a.real * b.real - a.imag * b.imag;
    result.imag = a.real * b.imag + a.imag * b.real;
    return result;
}

// 计算复数的和
Complex