算法学习2：初识递归

递归算法详解：例题演示与分治法应用

最新推荐文章于 2024-11-10 22:17:12 发布

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一、何为递归算法？

用一句话简单概括：直接或者间接地调用自身的算法称为递归算法。

在此之前，我们或多或少的接触到斐波那契数列，阶乘等等，这些问题有一定规律，但是如果把问题扩大规模，对我来说无法思考清晰，这篇博客是对自己的递归认知的进一步思考和探索。

二、例题展示

再回头看这些递归算法，其递推公式和起点便是关键。

【例题2-1】阶乘函数

阶乘函数可以被定义为：

$n!=\begin{cases} 1 & \text{ } n=0 \\ n(n-1)!& \text{ } n>0 \end{cases}$

从这个公式可以观察到如下信息：自变量n的定义域是非负整数；而且公式给出了这个函数的初始值。每个递归函数都必须有定义的初始值，否则将无法计算。此时我们可以相应递归函数：

int factorial(int n){
    if(n == 0)
      return 1;
    return n*factorial(n - 1);
}

这可能是我们第一次遇到递归的举例。

【例题2-2】斐波那契数列

斐波那契数列可以递归地定义为

$F(n)=\begin{cases} 1 & \text{ } n=0 \\ 1 & \text{ } n=1 \\ F(n-1)+F(n-2)& \text{ } n>1 \end{cases}$

这一个递归模型是由两个初始值和一个递归方程确定的，所以我们可以写出相应函数代码

int fionacci(int n){
    if(n <= 1)
      return 1;
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n -2);
}

【例题2-3】Ackerman函数

在学习这个递归模型时，要明白这不是普通的递归模型，这是特殊的双递归函数。

双递归函数：当一个函数及它的一个变量是由函数本身定义时，称这个函数是双递归函数。

现在给出Ackerman函数的定义：

$A(m,n)=\begin{cases} n+1 & \text{ } m= 0\\ A(m-1 , 1)& \text{ } m>0 ,n=0 \\ A(m-1,A(m,n-1))& \text{ } m>0 ,n>0 \end{cases}$

下面给出我自己的代码理解：

int A(int m , int n){
	if(m == 0) return n+1;
	else
	{
		if(n == 0) {
			return A(m - 1 , 1);
		}
		else
		{
			return A(m-1 , A(m,n-1));
		}
	}	
}

这只是一个外套，如果真的涉及到内部实际规律或者说让我们找出某题的某个实际，我们需要多耗费更多脑细胞。

【例题2-4】排序问题

原题目有些麻烦，稍稍化简一下：在一个数组中，拿出相应元素进行递归排序（没有要求）。这里给出书中所写代码（以一个力扣答题代码形式）：

template<class Type>
void Perm(Type list[] , int k , int m){
	if(k == m)
	{
		for(int i=0 ; i <= m ; i++)
		{
			cout<<i;
		}
		cout<<endl;
	}
    //输出[0,m]之间的元素

	else
	{   
        //交换顺序 第一个循环是确定第一个元素
		for(int i = k; i <= m; i++)
		{
			Swep(list[k],list[i]);
			Perm(list, k+1,m);
            //接着交换剩下的元素 依次确定剩下元素的文字 最后输出
			Swep(list[k],list[i]); 
            //回到最初的状态
		}
	}
}

template<class Type>
inline void Swep(Type &a,Type &b){
	Type temp=a;
	a=b;
	b=temp;
}

在我的舍友开导下，这是一个涵盖数组内大部分排序的总体函数，当 k=0, m=n-1时，此函数便满足我们的题目要求。虽然这个函数无法排除存在元素相同的情况，但是也令我思索良久。这里使用了一个inline前缀修饰符：