A.欧拉函数

最新推荐文章于 2024-07-13 16:09:22 发布

一只会旅行的猫

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分类专栏：数论

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本文详细介绍了欧拉函数的概念及其计算方法，并进一步扩展到求解与指定整数互质数的和的问题。通过示例代码展示了如何高效计算欧拉函数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.欧拉函数

度娘：点击打开链接

定义：对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。

通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数，且φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。(注意：每种质因数只一个，比如：12=2*2*3，φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4)）

实现：

while(cin>>n)
	{
		leave=n;
		for(i=2;i*i<n+1;i++)
		{
			if(n%i==0)
				leave=(leave/i)*(i-1);
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
		if(n>1)
			leave=(leave/n)*(n-1);
	}

批量实现：

memset(a,0,sizeof(a));
	for(i=0;i<NUM;i++)
		b[i]=i;
	for(i=2;i<NUM;i++)//注意i的范围
	{
		if(!a[i])
		{
			b[i]=i-1;//素数
			for(j=2*i;j<NUM;j+=i)
			{
				b[j]=b[j]/i*(i-1);——————##
				a[j]=1;
			}
		}
	}
##：if(i==b[i])
      for(j=i;j<NUM;j+=i)
          b[j]=b[j]/i*(i-1);

2.欧拉函数扩展

求小于等于（<=）n的所有与n互质的数的和：A=φ(n)*n/2

不互质即：B=n*(n-1)-A(不包括n本身)

例如：hdu 3501

     sum=(n-1)*n/2;
		leave=cpri=n;
		for(i=2;i*i<n+1;i++)
		{
			if(n%i==0)
				leave=leave/i*(i-1);
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
		if(n>1)
			leave=leave/n*(n-1);
		cpri=leave*cpri/2;
		printf("%I64d\n",(sum-cpri)%1000000007);