跳台阶扩展问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶(n为正整数)总共有多少种跳法。

数据范围:1 \le n \le 201≤n≤20
进阶:空间复杂度 O(1)O(1) , 时间复杂度 O(1)O(1)

输入描述:

本题输入仅一行,即一个整数 n 

输出描述:

输出跳上 n 级台阶的跳法

我总共写了3个方法

第一个方法动态规划,因为刚学动态规划不知道是不是动态规划,下面几个方法内存和运行速度基本一样

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main(void){
    int n;
    int *dp;
    scanf("%d",&n);
    dp=(int*)malloc(sizeof(int*)*(n+1));
    dp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-1]*2;
    }
    printf("%d",dp[n]);
    free(dp);
    return 0;
}

第二个方法循环

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main(void){
    int n;
    int nums=1;
    scanf("%d",&n);
    //dp=(int*)malloc(sizeof(int*)*(n+1));
    for(int i=2;i<=n;i++){
        nums*=2;
    }
    printf("%d",nums);
    return 0;
}

第三个递归

#include<stdio.h>
int func(int n);
int main(void){
    int n,nums;
    scanf("%d",&n);
    nums=func(n);
    printf("%d\n",nums);
    return 0;
}
int func(int n){
    if(n==1)
        return 1;
    else
        return 2*func(n-1);
}

### NC68 台阶问题的C语言算法实现 台阶问题是经典的动态规划问题,其核心思想是通过递推关系式 `f(n) = f(n-1) + f(n-2)` 来计算法总数。以下是基于C语言的实现代码: ```c #include <stdio.h> // 方法一:迭代法(优化空间复杂度) int jumpFloor(int number) { if (number <= 0) return 0; // 非法输入处理 if (number == 1) return 1; // 只有一阶的情况 if (number == 2) return 2; // 只有两阶的情况 int a = 1, b = 2, c = 0; // 定义三个变量存储状态 for (int i = 3; i <= number; i++) { c = a + b; // 当前状态由前两个状态决定 a = b; // 更新状态 b = c; } return c; // 返回最终结果 } int main() { int number; printf("请输入台阶数: "); scanf("%d", &number); int result = jumpFloor(number); printf("%d个台阶的方法总数为: %d\n", number, result); return 0; } ``` #### 代码解析 1. **非法输入处理** 如果输入的台阶数小于等于0,则直接返回0,表示没有合法的法[^1]。 2. **基本情况处理** - 当台阶数为1时,只有1种法。 - 当台阶数为2时,有2种法(一次1阶两次,或一次2阶)[^2]。 3. **动态规划的核心逻辑** 使用三个变量 `a`、`b` 和 `c` 分别保存 `f(n-2)`、`f(n-1)` 和 `f(n)` 的值。通过循环逐步更新这些变量,避免了额外的空间开销[^3]。 4. **时间与空间复杂度** - 时间复杂度:O(n),因为需要遍历从3到n的所有台阶。 - 空间复杂度:O(1),只使用了常数级别的额外空间。 --- ### 扩展问题台阶扩展问题 如果允许每次1阶、2阶或更多阶,则递推关系式变为 `f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1)`。以下是一个通用的C语言实现: ```c #include <stdio.h> // 方法二:扩展法(支持任意步长) int jumpFloorExtended(int number) { if (number <= 0) return 0; // 非法输入处理 if (number == 1) return 1; int *dp = (int *)malloc((number + 1) * sizeof(int)); // 动态分配数组 dp[0] = 1; // 初始条件 dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= number; i++) { dp[i] = 0; for (int j = 1; j <= i; j++) { dp[i] += dp[i - j]; // 累加所有可能的法 } } int result = dp[number]; free(dp); // 释放动态分配的内存 return result; } int main() { int number; printf("请输入台阶数: "); scanf("%d", &number); int result = jumpFloorExtended(number); printf("%d个台阶的方法总数为: %d\n", number, result); return 0; } ``` #### 扩展代码解析 1. **动态数组分配** 使用动态数组 `dp` 存储每个台阶法总数,初始条件为 `dp[0] = 1` 和 `dp[1] = 1`。 2. **双重循环计算** 外层循环遍历每个台阶,内层循环累加所有可能的法,即 `dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + ... + dp[1]`。 3. **内存管理** 在计算完成后,释放动态分配的内存以避免内存泄漏。 --- ### 总结 上述两种方法分别解决了标准台阶问题扩展台阶问题。第一种方法适用于固定步长(1阶或2阶),第二种方法适用于任意步长的法。
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