跳台阶问题的扩展 - 动态规划解法（Java）

最新推荐文章于 2024-07-03 18:00:24 发布
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文章标签： 动态规划 java 算法 Java
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本文介绍了跳台阶问题的扩展版，利用动态规划解决到达第 n 级台阶的不同跳法。通过定义长度为 n+1 的数组 dp，根据状态转移方程 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]，实现 Java 代码求解。以 n=5 为例，共有 13 种不同跳法。该方法时间复杂度和空间复杂度均为 O(n)。

跳台阶问题的扩展 - 动态规划解法（Java）

问题描述：

假设有 n 级台阶，一个人每次可以跳 1 级、2 级或 3 级。请问到达第 n 级台阶有多少种不同的跳法？

解决方案：

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个长度为 n+1 的数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 级台阶的跳法总数。

当 i=0 时，表示还没有台阶可跳，所以 dp[0]=1。
当 i=1 时，只有一级台阶可跳，所以 dp[1]=1。
当 i=2 时，有两种跳法：跳一次两级台阶或者跳两次一级台阶，所以 dp[2]=2。

对于 i>2 的情况，我们可以从 i-1、i-2 和 i-3 这三个状态转移过来，分别对应跳了一级、两级和三级台阶。所以状态转移方程为：

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

最终的结果即为 dp[n]。

下面是使用 Java 语言实现的代码：

public class JumpSteps {
   
   
    public static
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一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。 f(n-1) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n-2) + f(n-1) f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n-2) + f(n-1) + f(n) 两式相减得，f(n) = f(n-1) * 2 ; public class Solution { public int jumpFloorII(int ...
“跳台阶扩展问题”
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描述 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶(n为正整数)总共有多少种跳法。 数据范围：1≤n≤20 进阶：空间复杂度O(1)， 时间复杂度O(1) 示例1 输入：3 返回值：4 示例2 输入：1 返回值：1 思路一：循环 class Solution { public: int jumpFloorII(int number) { if(number < 2) return 1; ...
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题目描述 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。 这道题在【剑指offer-简单】 JZ9、变态跳台阶(java)中已经做过，详情见链接JZ9、变态跳台阶。此处直接贴java代码。 public class Solution { //类似于斐波拉契数列 //最后一次跳跃可以跳1阶，也可以跳2阶。 // 跳1阶，前面n-1阶的跳法dp(n-1)数就是这种情况总的跳法； // 跳2阶，前面n-2阶的跳法dp
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题目描述 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。 简单的递推问题，直接写代码吧？ public class Solution { public int JumpFloor(int target) { if(target==0) return 0; if(
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题目描述 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。 n=1,1种; n=2,2种; n=3,4种; n=4,8种; … n=k,2^(k-1)种； 或者： 有n级台阶时，f(n)种； f(n) = f(n-1) + f(n-2) + … + f(1); f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + … + f(1); 故...
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一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。 和leetcode70 爬楼梯一样的 递归： public class Solution { public int JumpFloor(int target) { if(target&lt;3) return target; els...
JZ9 跳台阶扩展问题
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描述 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶(n为正整数)总共有多少种跳法。 示例1 输入：3 返回值：4 关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下: f(1) = 1 f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。 f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) ... f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ...
JZ71 跳台阶扩展问题
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思路 该题问的是有多少种方式。就是一个排列问题。 那么可以尝试用背包问题来解决。又因为可以重复的上台阶，所以是一个完全背包问题。 把解题的总个数target看作为背包的容量，每次迈的台阶数看做物品。这就变为一个完全背包问题求排列数的问题了。 用动态规划解决 1.定义dp数组的含义 dp[j]表示，当有j个台阶的时候有dp[j]种方式可以登上去。 2.递推公式 因为是排列问题，所以递推公式就是dp[j]+=dp[j-i]; 注：理解不了就记住，在排列和组合问题中，递推公式一般都是它。
【递归 / 公式】跳台阶扩展问题
在这个博客里，我会分享我的技术见解、项目经验和学习笔记，感谢各位支持~
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一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶(n为正整数)总共有多少种跳法。
跳台阶问题（Java）
ln01010的博客
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跳台阶问题 （牛客网—牛客题霸算法篇—NC68） 题目描述 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。 数据范围：0≤n≤40 要求：时间复杂度：O(n)，空间复杂度： O(1) 思路 Java实现 递归实现 青蛙跳上最后一个台阶时可以是从倒数第二个台阶上跳一下，也可以从倒数第三个台阶上跳两下，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中n>2,f(1)=1，f(2)=2。 这种方法其实就是斐波那契数列的应用。 关于斐波
跳台阶扩展问题（贪心）
AIGC Studio：分享AIGC前沿知识和好玩应用，公众号同名。
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题目描述 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。 示例1 输入 3 返回值 4 思路 本题只需要在纸上画一下各种情况总结出规律就能很容易的看出来，如n=1时，只有1中情况，n=2时，有（11,2）两种情况，n=3时，有（111,12,21,3）4中情况，当n=4时，有（121,211,112,22,13,31,4,1111）8种情况，因此我们可以看出规律就是2的n-1次方。我一开始忘记了次方函数，所以就用循环乘的方式
《剑指Offer》跳台阶扩展问题（Java）
天天向上
03-02 189
时空限制 时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒 空间限制：C/C++ 64M，其他语言128M 热度指数：612837 题目要求 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。 示例：输入3 返回4 分析 在n级范围内，青蛙可以往上跳任意一个台阶。 跳到第n阶的分为经过n-1阶和不经过n-1阶的。 用F[n]表示跳到n级台阶的总数。 经过n-1阶到n级的有F[n-1]种。 不经过n-1阶的等价于有n-1个台阶，即F[n-1]种。
线性dp:DP3 跳台阶扩展问题
香蕉的博客
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描述 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶(n为正整数)总共有多少种跳法。 输入描述： 本题输入仅一行，即一个整数 n 输出描述： 输出跳上 n 级台阶的跳法 思路： f(n)=f(n-1)+.....f(1) f(n-1) = f(n-2) + .....f(1) 化简可得：f(n) = 2* f(n-1) 即：f(n)/f(n-1) = 2，等比数列，公比是2. #include<iostream> #includ
一共有n级台阶，每次可以前进1-3步，请问一共有多少种走法？java代码实现
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<think>嗯，用户想要一个Java代码来计算爬n级台阶的方法数，每次可以走1、2或3步。首先，这个问题应该和动态规划有关吧，因为之前类似的爬楼梯问题通常用动态规划解决。不过原来的问题每次只能走1或2步，这里扩展到了3步，所以递推公式可能需要调整。 首先，我得确定基本情况。当n=0的时候，可能有一种方法（不动），n=1的时候只有1种方法，n=2的时候是2种（1+1或者2），n=3的时候应该是4种？比如1+1+1，1+2，2+1，3。对吗？或者是不是应该更仔细地计算？ 然后递推公式应该是f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)，因为最后一步可能是1、2或3步，所以总的方法数是这三者的和。比如f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=4+2+1=7种？ 接下来要考虑实现方式。用户提到Java代码，可能需要递归或者迭代。但递归会有重复计算，效率低，所以最好用迭代的方法，也就是动态规划自底向上。例如，维护三个变量分别保存f(n-3)、f(n-2)、f(n-1)，然后逐步计算到n。 比如，当n<=3时返回对应的已知值。否则，从4开始循环到n，每次更新这三个变量。例如，初始化first=1（f(1)), second=2（f(2)), third=4（f(3))？或者可能初始值需要调整？因为根据前面的例子，f(3)是4，但有些时候可能定义f(0)=1，这样计算方式会不同。 这时候要确认初始条件是否正确。例如，如果n=0，可能视为1种方法，所以f(0)=1，那么f(1)=f(0)=1，f(2)=f(1)+f(0)=2，f(3)=f(2)+f(1)+f(0)=4，这样对吗？这时候，当n=3，确实有四种方法。那这样的话，初始变量应该设置为first=1（f(1)), second=2（f(2)), third=4（f(3))，然后从i=4开始循环到n，每次计算新的third为first + second + third？或者是不是应该更仔细地维护三个变量？ 或者可能需要用三个变量分别代表n-3, n-2, n-1的值。例如，当计算f(i)的时候，需要前三个值之和。例如，假设变量a=f(i-3)，b=f(i-2)，c=f(i-1)，那么f(i) = a + b + c。这时候，在每次迭代中，如何更新这三个变量？ 比如，初始情况当n>=3时，假设n=3，那么a=1（f0），b=1（f1），c=2（f2），那么f3 = a + b + c = 4。接下来，当计算f4时，需要f3 + f2 + f1 =4+2+1=7。此时，a应该变成原来的b，即1，b变成原来的c，即2，c变成新的f3，即4。这样每次迭代，a, b, c = b, c, a + b + c？ 或者是不是应该维护三个变量，比如first, second, third，分别代表f(n-3), f(n-2), f(n-1)，然后每一步的当前值是first + second + third？这时候每次循环需要更新这些变量。 这可能需要更仔细地处理初始条件。比如，当n=0时返回1，n=1返回1，n=2返回2，n=3返回4。然后对于n>3的情况，循环从4到n，每次计算当前值为前三步的和。 这样，代码的大致结构应该是： public static int countWays(int n) { if (n <= 1) return 1; if (n == 2) return 2; if (n == 3) return 4; int a = 1, b = 2, c = 4; for (int i = 4; i <= n; i++) { int next = a + b + c; a = b; b = c; c = next; } return c; } 或者可能初始变量设置是否正确？比如，当i=4的时候，当前的a是f(1)=1，b是f(2)=2，c是f(3)=4，那么next是1+2+4=7，即f(4)=7。然后i=5的时候，a=2，b=4，c=7，计算next=2+4+7=13，即f(5)=13。这看起来对吗？ 是的，因为对于n=4，方法数应该是7种。例如： 1+1+1+1 1+1+2 1+2+1 2+1+1 2+2 1+3 3+1 总共有7种，所以正确。 那这样的代码是否正确呢？ 另外，用户提供的引用中有一个类似的问题，将递归转换为迭代的斐波那契数列，其中使用了两个变量first和second，然后循环更新。这可能可以作为参考，但这里的情况需要三个变量。 所以最终的Java代码应该按照这个思路来写，并且处理初始条件。 然后用户可能需要相关的问题，比如时间复杂度的分析，或者空间优化，或者扩展到更多步数的情况。 总结一下： 代码需要处理n=0的情况吗？比如用户的问题中n是台阶数，可能n>=0，所以当n=0的时候返回1？ 不过可能用户的问题中的n是正整数。例如，输入n=0可能有0种方式？或者根据问题定义，当n=0的时候是否算作一种方式（不迈步）。需要明确。 比如，假设n=0返回1的话，那么初始条件可能需要调整。例如： f(0) = 1 f(1) = f(0) = 1 f(2) = f(1) + f(0) = 2 f(3) = f(2)+f(1)+f(0) = 4 这样的话，代码可以调整为： public static int countWays(int n) { if (n == 0) return 1; if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int a = 1, b = 1, c = 2; int res = 0; for (int i = 3; i <= n; i++) { res = a + b + c; a = b; b = c; c = res; } return res; } 这样，当n=3时，res =1+1+2=4，正确。对于n=4，a=1, b=2, c=4 → res=1+2+4=7。这样也正确。 这可能是更准确的递推方式，因为考虑了f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)，而初始条件为f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2。 所以需要确认用户的需求是否包含n=0的情况。根据用户的问题描述，n级台阶，可能n>=1，但代码中应该处理各种情况。 综上，正确的Java代码应该根据递推公式，使用动态规划迭代的方法，维护三个变量，并正确初始化。</think>### Java代码实现n级台阶走法数计算 对于计算允许1-3步的台阶走法问题，采用动态规划解法时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度$O(1)$，以下是实现步骤： 1. **边界条件处理** - 当$n=0$时视为1种走法（站立不动） - 当$n=1$时只有1种走法 - 当$n=2$时有2种走法：$1+1$或$2$ 2. **递推公式建立** 递推关系式为： $$f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)$$ 该式表示最后一步可能跨1、2或3级台阶[^2] 3. **迭代实现** ```java public class StairClimbing { public static int countWays(int n) { if (n == 0) return 1; // 站立不动的情况 if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int a = 1, b = 1, c = 2; // 分别对应f(n-3), f(n-2), f(n-1) for (int i = 3; i <= n; i++) { int next = a + b + c; a = b; b = c; c = next; } return c; } } ``` **示例验证**： - $n=3$时：$4$种走法（$1+1+1, 1+2, 2+1, 3$） - $n=4$时：$7$种走法 - $n=5$时：$13$种走法
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