【状态空间漫游记】（三）模型参考自适应控制（MRAC）：基于传递函数的自适应控制（变增益法、变参数法）

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#算法 #自动化 #控制理论 #自适应控制 #Simulink

于 2025-11-23 14:11:59 首次发布

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在前一篇文章中，我们已经了解了最简单的自适应控制规律——MIT律。然而MIT律适用性较差，需满足除增益外的系统完全一致的假设，且难以保证闭环控制系统的稳定性。本文将基于Lyapunov稳定性理论等方法推导适用性更强的自适应控制方法。

众所周知，传递函数和状态空间是最常用的两种系统模型，且线性条件下二者可以相互等价转换。本文先讨论基于传递函数的自适应控制方法，分为变增益型和变参数型两种；有关状态空间的方法将在下一篇文章中再进一步讨论。

1 基础理论

基于传递函数的自适应控制方法所需的数学基础理论包括Lyapunov稳定性理论、正实函数理论、KYP引理等。它们的详细介绍及证明过程请参见有关专业资料，本文仅从应用的角度简要介绍其与自适应控制理论有关的部分。以下数学理论较为枯燥，若无兴趣的读者可直接阅读第2节。

1.1 Lyapunov稳定性理论

Lyapunov方法是最常用的稳定性分析工具之一，常见的现代控制理论教材均对该理论作了详细的介绍，以下仅简要回顾：

定理1.1 （线性系统渐进稳定）自由响应的线性系统 $\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}$ 渐进稳定的充分必要条件是：

$\forall \boldsymbol{Q}\succ 0$ ， $\exists \boldsymbol{P}\succ0:$

$\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{Q}$ . (1)

式(1)称为Lyapunov方程，相应的Lyapunov函数为：

$V(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}$ .

1.2 正实函数理论

正实函数是针对复函数定义的概念，本文使用的是其加强后的定义“严格正实函数”。

定义1.1 （严格正实函数）复变量 $s=\sigma+j\omega$ 的函数 $h(s)$ 满足以下条件：

1) $\forall s\in\mathbb{R},\;h(s)\in\mathbb{R}$

2) 在右半复平面 $\begin{aligned} \Omega=\left \{ s\in \mathbb{C} | \mathrm{Re}\{s\}>0 \right \} \end{aligned}$ 上无极点（解析）

3) $\forall \omega\in\mathbb{R},\;\mathrm{Re}\{h(j\omega)\}>0$

则 $h(s)$ 称为严格正实(Strictly Positive Real, S.P.R)函数。

若某一传递函数是严格正实函数，即

$\begin{aligned} h(s)=\dfrac{\sum_{i=0}^{m}b_is^i}{\sum_{j=0}^{n}a_js^j}\in S.P.R \end{aligned}$

则其拥有以下性质：

性质1.1 （严格正实传递函数的性质）

1) $h(s)$ 的Nyquist曲线必在右半复平面(RHP)，因而闭环系统必然稳定；

2) 相对阶数 $n-m\in \{0,1\}$ 。

此外，对于严格正实函数有以下的正实函数引理：

引理1.1 （Kalman-Yakubovich-Popov引理）对于LTI系统

$\begin{cases} \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu} \\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x} \end{cases} \\ \\\\ \boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n},\;\boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^{n\times p},\;\boldsymbol{C}\in\mathbb{R}^{m\times n}$

及其传递函数

$G(s)= \boldsymbol{C}\left (s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A} \right )^{-1} \boldsymbol{B}$ ,

若 $G(s)\in S.P.R$ ，则等价于满足Lyapunov方程(1)并且

$\boldsymbol{PB}=\boldsymbol{C}^\mathrm{T}\boldsymbol{\mu},\;\boldsymbol{\mu}\in\mathbb{R}^{m\times p}$ , (2)

2 变增益法MRAC

2.1 基本结构

变增益型的基本结构与MIT律所使用的结构一致，同样需要假设实际模型除增益外的其余部分与参考模型完全一致。区别在于，MIT律采用基于梯度信息的局部优化方法，而本方法采用Luyapunov方法来保证了自适应控制律的稳定性。

该方法的主要结构依旧包括参考模型、实际模型、可调部分及自适应机构，所用信号为广义误差和参考输出等。

2.2 方法推导

2.1.1 能观标准型

首先假设除增益外的传递函数为

$\dfrac{N(s)}{D(s)}=\dfrac{b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0}$ ,

则可得输出的广义误差：

$E(s)=Y_m(s)-Y(s)=\left (K_m-K_cK \right )\dfrac{N(s)}{D(s)}R(s)$ .

若定义

$\tilde{K}:=K_m-K_cK,\quad u:=\tilde{K}r,$ (3)

则关于广义误差的微分方程为

$e^{(n)}+a_{n-1}e^{(n-1)}+\cdots+a_0e=b_nu^{(n)}+b_{n-1}u^{(n-1)}+\cdots+b_0u$ .

按以下方式选取状态变量和状态输出

$\xi_i:=\begin{cases}e-h_0u, & i=1 \\ \dot{\xi}_{i-1}-h_{i-1}u,&i=2,3,\cdots,n \end{cases} \\ \\ y:=e$

可得状态方程为

$\dot{\boldsymbol{\xi}}=\underbrace{ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{\xi} +\underbrace{\begin{bmatrix} h_1\\ h_2\\ \vdots\\ h_{n-1}\\ h_n \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{B}}u\;,$ (4)

输出方程为

$y=\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{C}}\boldsymbol{\xi}+h_0 u\;.$ (5)

其中系数 $h_i$ 由以下线性方程组解得：

$\begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ a_{n-1} & 1 & & & & \\ a_{n-2} & a_{n-1} & 1 & & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & 1 & \\ a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}h_0\\ h_1\\ h_2\\ \vdots\\ h_{n-1}\\ h_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_n\\b_{n-1}\\ b_{n-2}\\ \vdots\\ b_1\\ b_0 \end{bmatrix}.$ (6)

具体推导参见文献[3]。由(4)(5)构成的状态空间称为能观标准型(Observable Canonical Form)。

在大多数情况下，传递函数分子的阶次小于分母的阶次，此时只需令相应的系数 $b_i$ 为0即可。

2.2.2 构造Lyapunov函数

与MIT法一样，自适应控制的方法依旧是通过实时地调节 $K_c(t)$ ，使得系统的实际输出跟随参考输出。不过，本文的要求不再仅仅局限于最优化误差指标，而是直接了当地确保广义误差渐进收敛，即关于广义误差的状态空间渐进稳定：

$\begin{aligned}\lim_{t\to \infty} \boldsymbol{\xi}(t)=0\end{aligned}$ .

然而对于上述能观标准型

$\begin{cases} \dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{A\xi}+\boldsymbol{B}\tilde{K}r \\ y=\boldsymbol{C\xi}+h_0\tilde{K}r \end{cases},$

可知其稳定性不仅由系统矩阵 $\boldsymbol{A}$ 决定，还与控制矩阵 $\boldsymbol{B}$ 、输入信号 $r$ 以及增益误差 $\tilde{K}$ 有关。因此，选取一个待定的李雅普诺夫函数(Candidate Lyapunov Function)：

$V( \boldsymbol{\xi},\tilde{K} )= \boldsymbol{\xi}^\mathrm{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{\xi}+\lambda \tilde{K}^2.$ (7)

其中 $\boldsymbol{P}\succ0$ ，且通常为对称矩阵。显然

$V( \boldsymbol{\xi},\tilde{K} )>0.\quad \left (\boldsymbol{\xi}\neq\boldsymbol{0},\;\tilde{K} \neq0 \right )$

计算其关于时间的导数：

$\begin{aligned} \dot{V}( \boldsymbol{\xi},\tilde{K} )&=\dot{ \boldsymbol{\xi}}^\mathrm{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T} \boldsymbol{P} \dot{ \boldsymbol{\xi}}+2\lambda \tilde{K}\cdot\dot{ \tilde{K}} \\&= \left (\boldsymbol{A\xi}+\boldsymbol{B}\tilde{K}r \right )^\mathrm{T} \boldsymbol{P} \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T} \boldsymbol{P}\left ( \boldsymbol{A\xi}+\boldsymbol{B}\tilde{K}r \right )+2\lambda \tilde{K}\cdot\dot{ \tilde{K}} \\&=\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\left (\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{PA} \right )\boldsymbol{\xi}+\tilde{K}r\left (\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{P\xi}+\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB} \right )+2\lambda \tilde{K}\cdot\dot{ \tilde{K}} \end{aligned}$ .

由于需要保证定理1.1中 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{Q}$ ；此外由 $\boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^{n\times1},\;\boldsymbol{P}\in\mathbb{R}^{n\times n},\;\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^{n\times1}$ 知

$\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{P\xi}=\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB}\in\mathbb{R}.$

因此上述待定Lyapunov函数可进一步写作

$\begin{aligned} \dot{V}( \boldsymbol{\xi},\tilde{K} )&=-\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\xi}+2\tilde{K}r\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB}+2\lambda \tilde{K}\cdot\dot{ \tilde{K}} \end{aligned}$ . (8)

2.2.3 导出自适应律

根据Lyapunov稳定性定理，要保证系统稳定，必须有 $\dot{V}( \boldsymbol{\xi},\tilde{K} )\le0$ 。基于此，如果令(8)中除了关于状态向量的二次型之外的所有项都为0，即

$2\tilde{K}\left (r\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB}+\lambda \dot{ \tilde{K}} \right )=0,$ (9)

则可得

$\dot{V}( \boldsymbol{\xi} )=-\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\xi}\quad\begin{cases} <0, & \boldsymbol{\xi}\neq\boldsymbol{0} \\ =0, & \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{0} \end{cases}$ ,

满足Lyapunov稳定性定理，系统渐进稳定。因此，(9)式是一种可行的自适应律设计方式。

由于 $e(t)\neq0$ 时 $\tilde{K}\neq0$ ，要使(9)式成立，则必须有

$r\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB}+\lambda \dot{ \tilde{K}} =0,$

即

$\dot{ \tilde{K}} =-\dot{K_c}K=-\dfrac{1}{\lambda}\cdot r\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB},$

故可得：

$\dot{K_c}=\dfrac{1}{\lambda K}\cdot r\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB}.$ (10)

实践中，获知 $\boldsymbol{B},\boldsymbol{\xi}$ 通常是不容易的。因此借助正实函数的KYP引理，考虑 $h_0=b_n=0$ 且相对阶不大于1的情况，假设相应传递函数满足S.P.R.，则式(2)成立：

$\boldsymbol{PB}=\boldsymbol{C}^\mathrm{T}\mu$

由此(10)式可进一步化为

$\dot{K_c}=\dfrac{1}{\lambda K}\cdot r\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{C}^\mathrm{T}\mu,$

其中 $\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{C}^\mathrm{T}=y=e$ ，同时记 $\Gamma:={\mu}/{\lambda K}$ ，则可得最终的自适应律：

$\dot{K_c}(t)=\Gamma\cdot r(t)e(t).$ (11)

与MIT法相比，自适应律(11)使用的是系统输入 $r(t)$ ，而非参考输出 $y_m(t)$ ，是一种前馈补偿的思想。

注意：若系统的相对阶大于1，则必不满足S.P.R.条件，此时只能使用(10)式作为自适应律。对于已知的传递函数，可先验证其是否S.P.R，若是，则不必使用广义误差的各阶导数，只用 $e(t)$ 即可；若否，则只能使用状态向量 $\boldsymbol{\xi}(t)$ ，同时还要计算能观标准型的控制矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和解Lyapunov方程得 $\boldsymbol{P}$ .

2.3 仿真示例

由于变增益法与MIT法仅有较小的差别，其仿真结果也相近，因此不再赘述相关的仿真过程，可参考前一篇文章中的MIT法仿真结果。

【状态空间漫游记】（二）模型参考自适应控制（MRAC）：局部参数最优化方法（MIT律）-优快云博客https://blog.youkuaiyun.com/ych0872/article/details/152175663?spm=1001.2014.3001.5501 【免费】模型参考自适应控制（MRAC）：局部参数最优化方法（MIT律）Simulink仿真模型资源-优快云下载https://download.youkuaiyun.com/download/ych0872/92354278?spm=1001.2014.3001.5503

3 变参数法MRAC

无论是MIT法还是本文先前讨论的变增益法，都存在一个根本性缺陷——它们都假设参考模型与实际模型仅有增益上的差异，而这一假设在实际中往往过于严苛。一方面，实际系统的结构参数（除增益外的其他参数）通常是未知的；另一方面，即使已知结构参数，这两种方法也只能通过调整增益来改善系统性能。换言之，基于增益自适应的控制方法仅能使系统闭环极点沿根轨迹移动，无法实现极点的任意配置，具有很大的局限性。

因此，更加合理的做法是，不仅对系统增益进行自适应调节，同时还通过一定的方法对实际系统的结构参数也进行自适应调节，使其完全地能够跟踪任意参考模型的运动状态。

3.1 基本结构

首先假设参考模型的传递函数为

$G_m(s)=\dfrac{Y_m(s)}{R(s)}=\dfrac{s^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}$ , (12)

而实际系统的传递函数是

$G(s)=\dfrac{Y(s)}{R(s)}=\dfrac{s^m+\beta_{m-1}s^{m-1}+\cdots+\beta_1s+\beta_0}{s^n+\alpha_{n-1}s^{n-1}+\cdots+\alpha_1s+\alpha_0}$ , (13)

其中系统结构参数 $\left [\alpha_0,\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1} \right ],\;\left [\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_{m-1} \right ]$ 经过前馈、反馈等环节的补偿后均直接可调。

3.2 方法推导

3.2.1 能控标准型

接下来的目标就是如何设计 $\left [\alpha_0,\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1} \right ],\;\left [\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_{m-1} \right ]$ 的调节规律，使得它们能尽可能地与参考模型参数 $\left [a_0,a_1,\cdots,a_{n-1} \right ],\;\left [b_0,b_1,\cdots,b_{m-1} \right ]$ 保持一致。为此，定义如下的参数误差及参数误差向量：

$\begin{cases} \delta_i:=\alpha_i-a_i, & i=1,2,\cdots,n \\ \varepsilon_j:=\beta_j-b_j, & j=1,2,\cdots,m \end{cases}$ (14)

$\boldsymbol{\tilde{\theta}}:=\left [ \delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n,\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_m\right ]^\mathrm{T}$ , (15)

进而可得微分方程：

$\begin{cases} \begin{aligned} y_m^{(n)}+\sum_{i=0}^{n-1} a_iy_m^{(i)}=r^{(m)}+\sum_{j=0}^{m-1} b_jr^{(j)} \\ y^{(n)}+\sum_{i=0}^{n-1} \alpha_iy^{(i)}=r^{(m)}+\sum_{j=0}^{m-1} \beta_jr^{(j)} \end{aligned} \end{cases}$

两式相减，可得关于广义误差 $e:=y_m-y$ 的微分方程：

$\begin{aligned} e^{(n)}+\sum_{i=0}^{n-1} a_iy_m^{(i)}-\sum_{i=0}^{n-1} \alpha_iy^{(i)}=-\sum_{j=0}^{m-1} \varepsilon_jr^{(j)} \end{aligned},$

等式两边同时减去 $\sum_{i=0}^{n-1} a_iy^{(i)}$ ，再同时加上 $\sum_{i=0}^{n-1} \alpha_iy^{(i)}$ ，可得

$\begin{aligned} e^{(n)}+\sum_{i=0}^{n-1} a_ie^{(i)}= \sum_{i=0}^{n-1} \delta_iy^{(i)}-\sum_{j=0}^{m-1} \varepsilon_jr^{(j)}\end{aligned}.$ (16)

注意！为防止正负号出现错误，我们特别强调：参数误差应定义为实际量（可调量）减去参考量，而广义误差定义为参考量减去实际量。

根据(16)式建立状态空间，选取状态向量为

$\boldsymbol{\xi}:=\left [ e,\dot{e},\cdots,e^{(n-1)} \right ]^{\mathrm{T}},$

则状态方程为

$\boldsymbol{\dot{\xi}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{\xi}+\underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}}_{\boldsymbol{B}}u$ , (17)

其中

$u= \sum_{i=0}^{n-1} \delta_iy^{(i)}-\sum_{j=0}^{m-1} \varepsilon_jr^{(j)}.$

可知该状态空间为一能控标准型(Controllable Canonical Form)。

3.2.2 构造Lyapunov函数

由(17)可知，该系统的稳定性不仅与参考模型参数 $\left [a_0,a_1,\cdots,a_{n-1} \right ]$ 有关，还与时变的参数误差 $\boldsymbol{\tilde{\theta}}:=\left [ \delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n,\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_m\right ]^\mathrm{T}$ 有关。因此，选取待定Lyapunov函数为：

$V(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\tilde{\theta}})=\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{P\xi}+\boldsymbol{\tilde{\theta}}^\mathrm{T}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\tilde{\theta}},$ (18)

其中 $\boldsymbol{P}\succ0,\boldsymbol{\Lambda}\succ0$ ，且通常为对称矩阵。显然有

$V( \boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\tilde{\theta}} )>0.\quad \left (\boldsymbol{\xi}\neq\boldsymbol{0},\;\boldsymbol{\tilde{\theta}} \neq0 \right ).$

继续计算时间导数：

$\dot{V}(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\tilde{\theta}})=-\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\xi}+ u\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{P\xi}+\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB}u+ \boldsymbol{\dot{\tilde{\theta}}}^\mathrm{T}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\tilde{\theta}}+ \boldsymbol{\tilde{\theta}}^\mathrm{T}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\dot{\tilde{\theta}}},$

由各矩阵的相应维度可知：

$\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{P\xi}=\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{PB}\in\mathbb{R},\;\boldsymbol{\dot{\tilde{\theta}}}^\mathrm{T}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\tilde{\theta}}=\boldsymbol{\tilde{\theta}}^\mathrm{T}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\dot{\tilde{\theta}}}\in\mathbb{R}$

因此可将Lyapunov函数的导数写作

$\dot{V}(\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\tilde{\theta}})=-\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\xi}+ 2u\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{P\xi}+2\boldsymbol{\dot{\tilde{\theta}}}^\mathrm{T}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\tilde{\theta}}.$ (19)

并同时满足Lyapunov方程(1)。

3.2.3 导出自适应律

假设系数矩阵

$\boldsymbol{P}=\left [ p_{ij} \right ]_{n\times n}=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{bmatrix}$ ,

计算可得

$\begin{aligned} 2u\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{P\xi}&=2u\left [ p_{nk} \right ]_{1\times n}\boldsymbol{\xi} \\&=2u\sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k \\&=2 \left [\sum_{i=0}^{n-1} \delta_iy^{(i)}-\sum_{j=0}^{m-1} \varepsilon_jr^{(j)} \right ]\cdot\sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k. \end{aligned}$

假设系数矩阵

$\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}\left [ \lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_{n-1},\mu_0,\mu_1,\cdots,\mu_{m-1} \right ],$

计算可得

$\begin{aligned} 2\boldsymbol{\dot{\tilde{\theta}}}^\mathrm{T}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\tilde{\theta}}&= 2\left (\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i\dot{\delta}_i\delta_i+\sum_{j=0}^{m-1}\mu_j\dot{\varepsilon}_j\varepsilon_j \right ) . \end{aligned}$

由此可进一步将(19)式展开为

$\begin{aligned}\dot{V}(\boldsymbol{\xi})&=-\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\xi}+ 2 \left [\sum_{i=0}^{n-1} \delta_iy^{(i)}-\sum_{j=0}^{m-1} \varepsilon_jr^{(j)} \right ]\cdot\sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k+2\left (\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i\dot{\delta}_i\delta_i+\sum_{j=0}^{m-1}\mu_j\dot{\varepsilon}_j\varepsilon_j \right ) \\&= -\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\xi}+ 2\sum_{i=0}^{n-1}\delta_i\left [\lambda_i\dot{\delta}_i+y^{(i)}\sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k \right ]+ 2\sum_{j=0}^{m-1}\varepsilon_j\left [\mu_j\dot{\varepsilon}_j-r^{(j)}\sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k \right ] . \end{aligned}$

在上式中，由于 $\dot{\delta_i},\dot{\varepsilon_j}$ 尚不确定， $\dot{V}(\boldsymbol{\xi})$ 的负定性不能保证，因此可以令

$\begin{cases} \lambda_i\dot{\delta}_i+y^{(i)}\sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k =0 \\ \\ \mu_j\dot{\varepsilon}_j-r^{(j)}\sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k = 0\end{cases},$

从而使得 $\dot{V}(\boldsymbol{\xi})=-\boldsymbol{\xi}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\xi}$ ，系统渐进稳定。考虑到(14)的定义，由此导出自适应律为：

$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\dot{\delta}_i =\dot{\alpha}_i=-\dfrac{y^{(i)}}{\lambda_i}\cdot\sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k \\ &\dot{\varepsilon}_j =\dot{\beta}_j=\dfrac{r^{(j)}}{\mu_j} \sum_{k=1}^{n}p_{nk}\xi_k \end{aligned} \end{matrix}\right.$ (20)

3.3 仿真示例

在本例中，假设实际系统模型和参考模型分别为

$G(s)=\dfrac{2}{s^2+2s+1},\;G_m(s)=\dfrac{10}{s^2+4s+4}$

要使G(s)参数可调，可以考虑引入内环反馈和增益前馈，如下图所示：

由此将实际系统校正为结构参数任意可调的系统：

$\Phi(s)=\dfrac{2K_c}{s^2+2(f_1+1)s+2f_0+1},$

令 $\alpha_1=2(f_1+1),\;\alpha_0=2f_0+1,\;\beta_0=2K_c$ ，则与先前所推结论保持一致的形式。

由传递函数建立(17)式中的系统矩阵，并设定相应的正定矩阵：

$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -4 & -4\end{bmatrix},\;\boldsymbol{Q}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}.$

解Lyapunov方程(1)可得

$\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} \dfrac{9}{8} & \dfrac{1}{8} \\ \\ \dfrac{1}{8} & \dfrac{5}{32} \end{bmatrix}$

直接应用式(20)的结论，得到参数自适应律：

$\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &\dot{\alpha}_0=-\dfrac{y}{\lambda_0}\cdot \left (p_{21}e +p_{22}\dot{e}\right ) = -\dfrac{y}{\lambda_0}\cdot \left (1.125e +0.156\dot{e}\right ) \\ & \dot{\alpha}_1=-\dfrac{\dot{y}}{\lambda_1}\cdot \left (p_{21}e +p_{22}\dot{e}\right ) = -\dfrac{\dot{y}}{\lambda_1}\cdot \left (1.125e +0.156\dot{e}\right ) \\ & \dot{\beta}_0=\dfrac{r}{\mu_0} \cdot \left (p_{21}e +p_{22}\dot{e}\right )=\dfrac{r}{\mu_0} \cdot \left (1.125e +0.156\dot{e}\right ) \end{aligned} \end{matrix}\right.$