[BZOJ 2818] gcd · 欧拉函数

最新推荐文章于 2020-09-11 18:43:43 发布

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本文介绍了一种针对特定数学问题的有效算法实现。该问题要求计算所有满足特定条件的质数对数量，其中每个数对的值不超过10^7。通过引入欧拉函数phi并利用筛法进行预处理，该算法成功将复杂度降至O(N)，确保了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

随意感受一下，大概就是要你求这个东西：

但是N<=10^7，这么暴力的话妥妥的TLE啦~那么既然gcd(x,y)要是个质数，所以令x=x'*gcd(x,y),y=y'*gcd(x,y)，那么gcd(x',y')=1即x'和y'是一对互质数，所以问题就转化成了求：

其中K是[1,N]的素数。

再稍微观察一下就又发现，其实这个公式后面半部分就是phi(i)，那么公式就进一步简化为：

但是实际上，我们只算了一半的解，因为如果(x,y)满足条件，那么(y,x)也是一对可行解。然后（1,1）算了两次所以还要-1，最终公式就是：

求phi(i)可以用筛法O(N)预处理，后面枚举部分是O(K*(N/K))即O(N)，所以总复杂度就是O(N)，对于题中N<=10^7还是比较合理的。

最后求解部分有的程序是用前缀和，都是一个意思，但我试了一下前缀和的时间是这个的5倍→_→

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=int(1e7);
int n,tot,p[maxn],m[maxn],phi[maxn],k; 
long long ans;

int main(){
	cin>>n;
	phi[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++){	
		if (!m[i]){
			p[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for (int j=1;j<=tot && (k=p[j]*i)<=n;j++){
			m[k]=1;
			if (!(i%p[j])){
				phi[k]=phi[i]*p[j];
				break;	
			}
			else phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
	
	ans=0;	
	for (int i=1;i<=tot;i++){
		for (int j=1;j<=n/p[i];j++)
			ans+=phi[j]*2;
		ans--;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}