两分类变量相互独立的检验

1 列联表检验

1. 一个实际例子
   
   • 杀人犯的种族是否会影响判处死刑的问题。 对 1976-1977年美国佛罗里达州20个地区杀人案件中的674个被告进行调查, 考虑的种族有白人 和黑人, 用 是 和 否 表示是否判处死刑。调查后把已有数据整理成表格形式

   Table 1: 种族死刑数据

   	白人	黑人
   是	53	15
   否	430	176
   死刑百分比	11.0	7.9

2. 试检验判处死刑是否与杀人犯的种族有关
   

   a<-matrix(c(53,430,15,176),ncol=2)
   chisq.test(a)
   

           Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
   
   data:  a
   X-squared = 1.1447, df = 1, p-value = 0.2847
   

   • 说明判处死刑与种族没有显著关系
3. 死刑判决表的细节
   

   受害人种族	被告人种族	死刑		死刑百分比
   白人	白人	53	414	11.3
   	黑人	11	37	22.9
   黑人	白人	0	16	0
   	黑人	4	139	2.8
   小计	白人	53	430	11.0
   	黑人	15	176	7.9

4. 考虑条件列联表 受害人为白人
   

   Table 2: 死刑判决分表之受害人为白人

   受害人种族	被告人种族	死刑
   白人	白人	53	414
   	黑人	11	37

   a<-matrix(c(53,11,414,37),ncol=2)
   chisq.test(a)
   

           Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
   
   data:  a
   X-squared = 4.3416, df = 1, p-value = 0.03719
   

5. 考虑受害人为黑人
   

   Table 3: 死刑判决分表之受害人为黑人

   受害人种族	被告人种族	死刑
   黑人	白人	0	16
   	黑人	4	139

   a<-matrix(c(0,4,16,139),ncol=2)
   chisq.test(a)
   

           Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
   
   data:  a
   X-squared = 0, df = 1, p-value = 1
   
   警告信息：
   In chisq.test(a) : Chi-squared近似算法有可能不准
   

6. 辛普森悖论
   
   • 边际关联的结果和条件关联的结果方向矛盾的情况称为 辛普森悖论(Simpson's paradox)
   • 统计学家经常用它来警告从 X 到 Y 的关联来推论因果关系的危险性
   • 例如医学家观察吸烟和肺癌的关系的时候, 诸如 R. A. Fisher 等统计学家则强调, 可能 存在其他变量(如基因因素) 会使其在进行相应控制好的情况下吸烟和肺癌的关联消失
   • R. A. Fisher 在这个问题上的立场受到了很多学者的攻击

2 检验两属性变量相互独立的一般情况

1. 一般的统计模型
   
   • 设随机变量 X,Y 分别取取值 x1,⋯,xp 和 y1,⋯,yq
   • 从实际中抽取的样本经统计列表如下

   Table 4: 列联表数据

   X/Y	y1	….	yj	…	yq
   x1	n11	…	n1j	…	n1q	n1.
   …	…	…	…	…	…
   xi	ni1	…	nij	…	niq	ni.
   …	…	…	…	…	…
   xp	np1	…	npj	…	npq	np.
   	n.1	…	n.j	…	n.q	n

   其中 n=∑i=1p∑j=1qnij

2. 检验统计量及其分布
   
   • 取检验统计统计量
     χ2=∑i=1p∑j=1q(nij−ni.n.jn)2ni.n.jn
   • 可以证明在原假设: X,Y 不相关的条件下有
     χ2∼χ2((p−1)(q−1))
   • 其自由度为 pq−1−(p−1)−(q−1)=pq−p−q+1=(p−1)(q−1)