浅谈B树、B+树索引

 

前言

本文是在讲述什么样的数据结构适合作为索引，以及其适合作为索引的原因。而阅读本文需要对B树和B+树结构有稍微的理解。以及需要对磁盘操作知识有稍微的了解。

什么是索引

 

索引（Index）是帮助数据库高效获取数据的数据结构。索引是在基于数据库表创建的，它包含一个表中某些列的值以及记录对应的地址，并且把这些值存储在一个数据结构中。最常见的就是使用哈希表、B+树作为索引。

 

为什么要使用索引

我们知道，数据库查询是数据库最主要的功能之一。而查询速度当然是越快越好。而当数据量越来越大的时候，查询花费的时间会随之增长。而索引，可以加速数据的查询。因为索引是有序排列的。

 

数据库中使用什么数据结构作为索引

我们知道，数组+二分查找的效率是O(lgn)，但是数组的插入元素以及删除元素的效率很低，因此使用数组做为索引结构并不合适。

 

另外，在选择数据库索引的结构的时候，要考虑到另一个问题。索引是存在于磁盘中，当索引非常大的时候，达到几个G的时候，无法一次加载到内存中。

 

考虑到上面两个因素，数据库中索引使用的是树形结构。

 

各种树的名字

有这么几种树：

 

B-Tree

B+-Tree

B*-Tree

首先要明白三种树名中的“-”起到的是分隔的作用，并不是“减”的意思。

因此正确的翻译应该是B树，B+树，B*树。而不是B-树，B+树，B*树。因此，当你听到别人说“B减树”的时候，要明白它指的是B-Tree。即B树和B-树是同一种树。

二叉树

       即二叉搜索树：

       1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；

       2.所有结点存储一个关键字；

       3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

       如：

       二叉树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；

       如果二叉树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么二叉树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变二叉树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；

       如：

      

   但二叉树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：

  

   右边也是一个平衡二叉树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用二叉树树还要考虑尽可能让二叉树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；      

       实际使用的二叉树都是在原二叉树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持二叉树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在二叉树中插入和删除结点的策略。常见的平衡二叉树有：AVL，RBT，Treap，Splay Tree。

B-树

是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

       1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

       2.根结点的儿子数为[2, M]；

       3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2,M]；

       4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

       5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

       6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

       8.所有叶子结点位于同一层；

       如：（M=3）

  B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

       1.关键字集合分布在整颗树中；

       2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

       3.搜索有可能在非叶子结点结束；

       4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

       5.自动层次控制；

       由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；

       所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；

       由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

B+树

  B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

       1.其定义基本与B-树同，除了：

       2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

       3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；

       5.为所有叶子结点增加一个链指针；

       6.所有关键字都在叶子结点出现；

       如：（M=3）

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

       B+的特性：

       1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

       2.不可能在非叶子结点命中；

       3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

       4.更适合文件索引系统；

B*树

是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

       B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

       B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

       所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

平衡二叉树

树形结构是计算机系统里最重要的数据结构。

 

我们知道，二叉树的查找的时间复杂度是O(log2N)，其查找效率与深度有关，而普通的二叉树可能由于内部节点排列问题退化成链表，这样查找效率就会很低。因此平衡二叉树是更好的选择，因为它保持平衡，即通过旋转调整结构保持最小的深度。其查找的时间复杂度也是O(log2N)。

 

但实际上，数据库中索引的结构也并非AVL树或更优秀的红黑树，尽管它的查询的时间复杂度很低。

 

为什么平衡二叉树也不适合作为索引

索引是存在于索引文件中，是存在于磁盘中的。因为索引通常是很大的，因此无法一次将全部索引加载到内存当中，因此每次只能从磁盘中读取一个磁盘页的数据到内存中。而这个磁盘的读取的速度较内存中的读取速度而言是差了好几个级别。

 

注意，我们说的平衡二叉树结构，指的是逻辑结构上的平衡二叉树，其物理实现是数组。然后由于在逻辑结构上相近的节点在物理结构上可能会差很远。因此，每次读取的磁盘页的数据中有许多是用不上的。因此，查找过程中要进行许多次的磁盘读取操作。

 

而适合作为索引的结构应该是尽可能少的执行磁盘IO操作，因为执行磁盘IO操作非常的耗时。因此，平衡二叉树并不适合作为索引结构。

 

B-Tree适合作为索引

平衡二叉树不适合作为索引。那么什么才适合作为索引——B树。

 

平衡二叉树没能充分利用磁盘预读功能，而B树是为了充分利用磁盘预读功能来而创建的一种数据结构，也就是说B树就是为了作为索引才被发明出来的的。

 

来看看关于“局部性原理与磁盘预读”的知识：

 

局部性原理与磁盘预读：

 

由于存储介质的特性，磁盘本身存取就比主存慢很多，再加上机械运动耗费，磁盘的存取速度往往是主存的几百分分之一，因此为了提高效率，要尽量减少磁盘I/O。为了达到这个目的，磁盘往往不是严格按需读取，而是每次都会预读，即使只需要一个字节，磁盘也会从这个位置开始，顺序向后读取一定长度的数据放入内存。这样做的理论依据是计算机科学中著名的局部性原理：

当一个数据被用到时，其附近的数据也通常会马上被使用。

程序运行期间所需要的数据通常比较集中。

由于磁盘顺序读取的效率很高（不需要寻道时间，只需很少的旋转时间），因此对于具有局部性的程序来说，预读可以提高I/O效率。

 

搞清楚上面的意思。磁盘预读是具体实现，其理论依据是局部性原理。

 

为什么说红黑树没能充分利用磁盘预读功能，引用一篇博文的一段话：

 

红黑树这种结构，h明显要深的多。由于逻辑上很近的节点（父子）物理上可能很远，无法利用局部性，所以红黑树的I/O渐进复杂度也为O(h)，效率明显比B-Tree差很多。

 

也就是说，使用红黑树（平衡二叉树）结构的话，每次磁盘预读中的很多数据是用不上的数据。因此，它没能利用好磁盘预读的提供的数据。然后又由于深度大（较B树而言），所以进行的磁盘IO操作更多。

 

B树的每个节点可以存储多个关键字，它将节点大小设置为磁盘页的大小，充分利用了磁盘预读的功能。每次读取磁盘页时就会读取一整个节点。也正因每个节点存储着非常多个关键字，树的深度就会非常的小。进而要执行的磁盘读取操作次数就会非常少，更多的是在内存中对读取进来的数据进行查找。

 

B树的查询，主要发生在内存中，而平衡二叉树的查询，则是发生在磁盘读取中。因此，虽然B树查询查询的次数不比平衡二叉树的次数少，但是相比起磁盘IO速度，内存中比较的耗时就可以忽略不计了。因此，B树更适合作为索引。

 

比B树更适合作为索引的结构——B+树

比B树更适合作为索引的结构是B+树。MySQL中也是使用B+树作为索引。它是B树的变种，因此是基于B树来改进的。为什么B+树会比B树更加优秀呢？

 

B树：有序数组+平衡多叉树；

B+树：有序数组链表+平衡多叉树；

 

B+树的关键字全部存放在叶子节点中，非叶子节点用来做索引，而叶子节点中有一个指针指向一下个叶子节点。做这个优化的目的是为了提高区间访问的性能。而正是这个特性决定了B+树更适合用来存储外部数据。

 

引用一段话：

 

走进搜索引擎的作者梁斌老师针对B树、B+树给出了他的意见（为了真实性，特引用其原话，未作任何改动）： “B+树还有一个最大的好处，方便扫库，B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+树支持range-query非常方便，而B树不支持。这是数据库选用B+树的最主要原因。

比如要查 5-10之间的，B+树一把到5这个标记，再一把到10，然后串起来就行了，B树就非常麻烦。B树的好处，就是成功查询特别有利，因为树的高度总体要比B+树矮。不成功的情况下，B树也比B+树稍稍占一点点便宜。

B树比如你的例子中查，17的话，一把就得到结果了，

有很多基于频率的搜索是选用B树，越频繁query的结点越往根上走，前提是需要对query做统计，而且要对key做一些变化。

另外B树也好B+树也好，根或者上面几层因为被反复query，所以这几块基本都在内存中，不会出现读磁盘IO，一般已启动的时候，就会主动换入内存。”

 

数据库索引采用B+树的主要原因是B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。

 

正如上面所说，在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，因此MySQL最终选择的索引结构是B+树而不是B树。