Manacher算法

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分类专栏： leetcode and lintcode 典型demo 感悟文章标签：算法 java 开发语言

于 2021-08-13 00:15:07 首次发布

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本文详细介绍了Manacher算法如何在O(n)时间复杂度内找到字符串的所有回文子串，并结合LeetCode题目实践，包括最长回文子串和最大奇数回文子串乘积。通过预处理、动态规划及对称性利用，深入剖析算法原理并提供代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：

Manacher算法在O(n)时间复杂度求所有回文子串。

思路为：当求后面某一位为中心时的回文子串时，对前面的回文字串信息的复用。类似KMP。本质还是动态规划。

核心思想是：当前点i为中心的对称长度基于上一层中心点mid与i的对称点p。

维护中心点mid和最远的r,当[mid,i]中的点和[p,mid]中的点对称，利用对称性，基于以p为中心的部分点，能预先求出以i为中心的部分点，即预先求出以i为中右边的延申点为min(r-i,dp[p])

考虑到回文子串长度还有奇数或偶数，需要对原字符串S进行预处理，插值为另一个字符串T（插值方式见网上资料）。当T中以原字符串的字符为中心时对应奇数子串，以插入的字符“#”为中心时对应偶数子串。之后在将T中包含的回文信息，转换回S的回文信息（从起始字符的对应关系和长度的对应关系，转换到原字符串的回文子串）。

参考：有什么浅显易懂的Manacher Algorithm讲解？ - 知乎

题1：leetcode5. Longest Palindromic Substring

模板题：

class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int n=s.length();
        int m=2*n+3;
        char[] chs=new char[m];
        for(int i=0,j=2;i<n;i++,j+=2){
            chs[j]=s.charAt(i);
        }
        for(int j=1;j<m;j+=2){
            chs[j]='#';
        }
        chs[0]='^';
        chs[m-1]='$';
        //dp记录了插值后的回文子串半边的长度，等于原字符串回文子串的总长度
        int[] dp=new int[m];
        //每次维护一个之前最远的回文子串，求下一个子串时可以利用之前子串的对称性，最大程度复用之前的信息
        int mid=0,r=0;
        for(int i=1;i<m-1;i++){
            int p=2*mid-i;
            if(r>i){
                dp[i]=Math.min(dp[p],r-i);
            }else{
                dp[i]=0;
            }
            while(chs[i-dp[i]-1]==chs[i+dp[i]+1]){
                dp[i]++;
            }
            if(i+dp[i]>r){
                r=i+dp[i];
                mid=i;
            }
        }
        int idx=0,len=0;
        for(int i=0;i<m;i++){
            if(dp[i]>len){
                len=dp[i];
                idx=i;
            }
        }
        //从起始字符的对应关系和长度的对应关系，转换到原字符串的回文子串
        int start=(idx-len)/2;
        int end=start+len;
        return s.substring(start,end);
    }
}

题2：leetcode1960. Maximum Product of the Length of Two Palindromic Substrings

因为这里只需要求奇数长度回文子串，所以不用插值。之后用两个数组记录左右两边的最大回文子串，用双指针求。

class Solution {
    public long maxProduct(String s) {
        int n=s.length();
        char[] chs=s.toCharArray();
        int[] dp=new int[n];
        int mid=0,r=0;
        for(int i=1;i<n-1;i++){
            int p=2*mid-i;
            if(r>i){
                dp[i]=Math.min(dp[p],r-i);
            }else{
                dp[i]=0;
            }
            while(i-dp[i]-1>=0&&i+dp[i]+1<n&&chs[i-dp[i]-1]==chs[i+dp[i]+1]){
                dp[i]++;
            }
            if(i+dp[i]>r){
                r=i+dp[i];
                mid=i;
            }
        }
        long[] L=new long[n];
        long[] R=new long[n];
        for(int i=0,j=0;j<n;j++){
            if(j>0){
                L[j]=L[j-1];
            }
            while(i+dp[i]<j){
                i++;
            }
            L[j]=Math.max(L[j],(j-i)*2+1);
        }
        for(int i=n-1,j=n-1;j>=0;j--){
            if(j<n-1){
                R[j]=R[j+1];
            }
            while(i-dp[i]>j){
                i--;
            }
            R[j]=Math.max(R[j],(i-j)*2+1);
        }
        long ret=0;
        for(int i=0;i<n-1;i++){
            ret=Math.max(ret,L[i]*R[i+1]);
        }
        return ret;
    }
}