〈算法设计与分析基础〉读书笔记1——算法效率分析基础

算法效率分析基础

1.       分析框架算法的时间效率和空间效率都用输入规模的函数进行度量。我们用算法基本操作的执行次数来度量算法的时间效率；通过计算算法消耗的额外存储单元的数量来度量空间效率。（不过通常优先考虑算法的时间效率）对于输入规模的度量通常是直接用N，但如果是度量与数字特性相关的输入规模，更倾向于度量数字N的二进制表示中的比特数b = log n +1在输入规模相同的情况下，有些算法自身的效率会有显著差异，对于这样的算法，我们需要区分最差效率，最优效率和平均效率（重要，且难计算）。另外还有“摊销效率”我们可以认为：如果一个程序的算法具有对数级的基本操作次数，该程序对于任何实际规模的输入都会在几乎瞬间完成；一个需要指数级操作次数的算法只能用来解决规模非常小的问题。本框架主要关心：当算法的输入规模趋向于无限大的时候，其运行时间（或消耗的额外空间）函数的增长次数。

2.       渐进符号和基本效率类型三种渐进符号：O，omega，theta同时也可以利用极限（两个函数的比率）来比较。基本的效率类型： 1（常量），log n（对数），n（线形），n-log-n，平方，立方，指数，n! （阶乘）。

3.       非递归算法的数学分析
a.       决定用哪个（哪些）参数作为输入规模的度量。
b.       找出算法的基本操作（一般总是位于算法的最内层循环中）
c.       检查基本操作的执行次数是否只依赖输入规模，如果还依赖其他个，则最差效率，平均效率以及最优效率（如有必要）需要分别研究。
d.       建立一个算法基本操作次数的求和表达式。
e.       利用求和运算的标准公式和法则来建立一个操作次数的闭合公式，或者至少确定它的增长次数。

4.       递归算法的数学分析
a.       决定用哪个（哪些）参数作为输入规模的度量。
b.       找出算法的基本操作。
c.       检查一下，对于相同规模的不同输入，基本操作的执行次数是否不同，如果不同，则必须对最差效率，平均效率和最优效率做单独研究。
d.       对于算法基本操作的执行次数，建立一个递推关系以及相应的初始条件。
e.       解这个递推式，或者至少确定它的解的增长次数。我们应该谨慎使用递归，因为它的简洁可能会掩盖它的低效率。

5.       斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，21，34……可以用一个简单的递推式和两个初始条件来定义：当n>1时， F(n) = F(n-1) + F(n-2);  F(0)=0, F(1)=1