算法导论 — 6.3 建堆

本文深入解析构建最大堆的算法过程,解释了自底向上调整非叶结点以满足最大堆性质的原理,以及BUILD-MAX-HEAP算法的时间复杂度为O(n)的原因。通过实例演示,帮助读者理解如何在具体数组上应用该算法。

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笔记

建堆的过程实际上是自底向上地对所有非叶结点调用MAX-HEAPIFY的过程。由于叶结点没有孩子,所以每一个叶结点都可以看是只包含一个元素的最大堆。而自底向上地调用MAX-HEAPIFY,是要保证在处理任意一个结点的时候,它的子树已经满足了最大堆性质,这是调用MAX-HEAPIFY的必要条件。
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  BUILD-MAX-HEAP的运行时间为O(n)O(n)O(n)。这一结果的推导过程可以参考书本上的描述,这里不做说明。
  下图给出了一个构建最大堆的例子。
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练习

6.3-1 参照图6-3的方法,说明BUILD-MAX-HEAP在数组A = <5, 3, 17, 10, 84, 19, 6, 22, 9>上的操作过程。
  
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6.3-2 对于BUILD-MAX-HEAP中第2行的循环控制变量iii来说,为什么我们要求它是从⌊A.length/2⌋⌊A.length/2⌋A.length/2到1递减,而不是从1到⌊A.length/2⌋⌊A.length/2⌋A.length/2递增呢?
  
  因为调用MAX_HEAPIFY(A, i)的先决条件是,结点iii的子树必须都已经满足最大堆条件。而节点iii的子树中的结点的下标都比iii要大,因此BUILD-MAX-HEAP中的循环控制变量iii必须是递减的。

6.3-3 证明:对于任一包含nnn个元素的堆中,至多有⌈n/2h+1⌉⌈n/2^{h+1}⌉n/2h+1个高度为h的结点?
  
  首先考虑叶结点,它们的高度h=0h = 0h=0,根据练习6.1-7的结论,含有nnn个元素的堆的叶子结点的个数为n−⌊n/2⌋=⌈n/2⌉=⌈n/20+1⌉n-⌊n/2⌋=⌈n/2⌉=⌈n/2^{0+1}⌉nn/2=n/2=n/20+1。因此命题对h=0h = 0h=0是成立的。
  下面把原始堆H0H_0H0中的叶结点去掉,剩下的元素仍然构成一个堆H1H_1H1,并且H1H_1H1中的叶结点就是H0H_0H0中高度为111的结点。堆H1H_1H1的大小为⌊n/2⌋⌊n/2⌋n/2,故H1H_1H1中的叶结点个数为⌈⌊n/2⌋/2⌉≤⌈n/22⌉⌈⌊n/2⌋/2⌉≤⌈n/2^2 ⌉n/2/2n/22。即原始堆H0H_0H0中高度为111的结点至多有⌈n/22⌉=⌈n/21+1⌉⌈n/2^2 ⌉=⌈n/2^{1+1}⌉n/22=n/21+1个。因此,命题对h=1h = 1h=1也是成立的。
  下面把堆H1H_1H1中的叶结点去掉,剩下的元素也构成一个堆H2H_2H2,并且H2H_2H2中的叶结点就是H0H_0H0中高度为222的结点。堆H2H_2H2的大小为⌊⌊n/2⌋/2⌋⌊⌊n/2⌋/2⌋n/2/2(因为堆H1H_1H1的大小为⌊n/2⌋⌊n/2⌋n/2,根据练习6.1-7的结论,堆H1H_1H1中的非叶结点个数为⌊⌊n/2⌋/2⌋⌊⌊n/2⌋/2⌋n/2/2)。堆H2H_2H2中的叶子结点个数为⌈⌊⌊n/2⌋/2⌋/2⌉≤⌈n/23⌉⌈⌊⌊n/2⌋/2⌋/2⌉≤⌈n/2^3⌉n/2/2/2n/23。即原始堆H0H_0H0中高度为222的结点至多有⌈n/23⌉=⌈n/22+1⌉⌈n/2^3 ⌉=⌈n/2^{2+1}⌉n/23=n/22+1个。因此,命题对h=2h = 2h=2也是成立的。
  … …
  以此类推,在一个大小为nnn的堆中,高度为hhh的结点至多有⌈n/2h+1⌉⌈n/2^{h+1}⌉n/2h+1个。

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