算法导论 — 思考题4-2 参数传递代价

（参数传递代价）我们有一个贯穿本书的假设——过程调用中的参数传递花费常量时间，即使传递一个$N$个元素的数组也是如此。在大多数系统中，这个假设是成立的，因为传递的是指向数组的指针，而非数组本身。本题讨论三种参数传递策略：
　　1. 数组通过指针来传递。时间 = $\Theta (1)$。
　　2. 数组通过元素复制来传递。时间 = $\Theta (N)$，其中$N$是数组的规模。
　　3. 传递数组时，只复制过程可能访问的子区域。若子数组$A[p..q]$被传递，则时间 = $\Theta (q-p+1)$。
　　a. 考虑在有序数组中查找元素的递归二分查找算法（参见练习2.3-5）。分别给出上述三种参数传递策略下，二分查找最坏情况运行时间的递归式，并给出递归式解的好的上界。令N为原问题的规模，n为子问题的规模。
　　b. 对2.3.1节的MERGE-SORT算法重做(a)。
　　
　　解
　　a. 二分查找
　　如果忽略参数传递时间，二分查找的运行时间的递归式为$T(n)=T(n/2)+\Theta (1)$。
　　(1) 数组通过指针来传递
　　最坏情况运行时间递时式为$T(n)=T(n/2)+\Theta (1)+\Theta (1)=T(n/2)+\Theta (1)$，求解该递归式得到$T(n)=O(\mathrm{l}\mathrm{g}n)$。
　　(2) 数组通过元素复制来传递
　　最坏情况运行时间递时式为$T(n)=T(n/2)+\Theta (1)+\Theta (N)=T(n/2)+\Theta (N)$，其中$N$为原数组规模，求解该递归式得到$T(n)=O(n\mathrm{l}\mathrm{g}n)$。
　　(3) 数组通过只复制子问题要访问的区域来传递
　　最坏情况运行时间递时式为$T(n)=T(n/2)+\Theta (1)+\Theta (n)=T(n/2)+\Theta (n)$，用主方法求解该递归式得到$T(n)=O(n)$。
　　b. MERGE-SORT
　　如果忽略参数传递时间，MERGE-SORT的运行时间的递归式为$T(n)=2T(n/2)+\Theta (n)$。
　　(1) 数组通过指针来传递
　　最坏情况运行时间递时式为$T(n)=2T(n/2)+\Theta (n)+\Theta (1)=2T(n/2)+\Theta (n)$，求解该递归式得到$T(n)=O(n\mathrm{l}\mathrm{g}n)$。
　　(2) 数组通过元素复制来传递
　　最坏情况运行时间递时式为$T(n)=2T(n/2)+\Theta (n)+\Theta (N)=2T(n/2)+\Theta (N)$，其中$N$为原数组规模，求解该递归式得到$T(n)=O(n^2)$。
　　(3) 数组通过只复制子问题要访问的区域来传递
　　最坏情况运行时间递时式为$T(n)=T(n/2)+\Theta (n)+\Theta (n)=2T(n/2)+\Theta (n)$，求解该递归式得到$T(n)=O(n\mathrm{l}\mathrm{g}n)$。