Phthon矩阵运算基础

一.Python矩阵基本运算
1.准备
引入库

import numpy as np

2.矩阵操作
（1）创建一个 2X3矩阵

a = np.mat([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

（2）获取矩阵的大小

a.shape

（3）行列转换

a.T

（4）二维数组代替矩阵来进行矩阵运算

b = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

（5）加减法运算

a + b
a - b

3.矩阵乘法
（1）二维数组创建两个矩阵

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = A.T

（2）矩阵的数乘

2 * A

（3）计算

dot 函数用于矩阵乘法，对于二维数组，它计算的是矩阵乘积，对于一维数组，它计算的是内积

np.dot(A, B)

（4）创建一个二维数组

C = np.array([[1, 2], [1, 3]])

（5）验证结合性

np.dot(np.dot(A, B), C)
np.dot(A, np.dot(B, C))

（6）验证加法的分配性

A = B - 1
np.dot(A+B, C)

np.dot(A, C) + np.dot(B, C)

（7）数乘的结合性

2*(np.dot(A, C))
np.dot(2*A, C)
np.dot(A, 2*C)

（8）创建一个单位矩阵

D = np.eye(2)

（9）矩阵单位矩阵
一个矩阵乘以一个单位矩阵，还是它本身

np.dot(C, D)

4.矩阵转置
列变行，行变列

（1）矩阵转置的转置
矩阵转置的转置就是它本身

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
A.T.T

（2）( A ± B ) ′ = A ′ ± B ′
创建两个尺寸相同的矩阵

B = A.T
C = B - 1

验证

(B + C).T
B.T + C.T

（3）(KA) ′ =KA ′

(2 * A).T
2 * A.T

（4）(A×B) ′ =B′ ×A ′

np.dot(A, B).T
np.dot(B.T, A.T)

5.求方阵的迹
迹就是主对角元素之和

创建方阵

E = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

（1）计算方阵的迹

np.trace(E)

（2）验证一下方阵的迹与方阵的转置的迹的关系

np.trace(E)
np.trace(E.T)

方阵的迹等于方阵的转置的迹
（3） 验证方阵乘积的迹

np.trace(np.dot(E, F))
np.trace(np.dot(F, E))

（3） 验证一下方阵的和的迹与方阵的迹的和

np.trace(E + F)
np.trace(E) + np.trace(F)

验证一下方阵的和的迹等于方阵的迹的和

6.方阵的行列式计算方法
创建两个方阵

E = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
F = np.array([[1, 2], [1, 3]])

（1）求得方阵E和方阵F的行列式

np.linalg.det(E)
np.linalg.det(F)

7.求逆矩阵/伴随矩阵
创建

A = np.array([[1, -2, 1], [0, 2, -1], [1, 1, -2]])

（1）求方阵的行列式

A_abs = np.linalg.det(A)

（2）求方阵A的逆矩阵

B = np.linalg.inv(A)

1
2
（3）求伴随矩阵

A_bansui = B * A_abs

二.梯度下降法与excel中运用
1.基本概念
（1）什么是微分
微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。
（2）什么是梯度
梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。
（3）什么是梯度下降法
梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。

2.手工求解
问题：

解法：

3.Excel中求解

求其梯度为

以下表为例

1.设定

2. 计算

更新

反复操作