洛谷P3953 逛公园_NOIP2017_DAY1_T3

最新推荐文章于 2019-11-07 12:00:08 发布

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最短路

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本文介绍了一种解决策策同学寻找公园特定路径数量的问题，采用反向图SPFA结合DP的方法，通过调整最短路径计算策略确保算法的有效性和正确性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张 $N$ 个点 $M$ 条边构成的有向图，且没有自环和重边。其中1号点是公园的入口， $N$ 号点是公园的出口，每条边有一个非负权值，代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从1号点进去，从 $N$ 号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果1号点到 $N$ 号点的最短路长为 $d$ ，那么策策只会喜欢长度不超过 $d + K$ 的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？

为避免输出过大，答案对 $P$ 取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出−1。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数 $T$ , 代表数据组数。

接下来 $T$ 组数据，对于每组数据：第一行包含四个整数 $N, M, K, P$ ，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来 $M$ 行，每行三个整数 $a_i,b_i,c_i$ ，代表编号为 $a_i,b_i$ 的点之间有一条权值为 $c_i$ 的有向边，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出文件包含 $T$ 行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

3
-1

说明

【样例解释1】

对于第一组数据，最短路为 3。 1 – 5, 1 – 2 – 4 – 5, 1 – 2 – 3 – 5 为 3 条合法路径。

【测试数据与约定】

对于不同的测试点，我们约定各种参数的规模不会超过如下

测试点编号	$T$	$N$	$M$	$K$	是否有0边
1	5	5	10	0	否
2	5	1000	2000	0	否
3	5	1000	2000	50	否
4	5	1000	2000	50	否
5	5	1000	2000	50	否
6	5	1000	2000	50	是
7	5	100000	200000	0	否
8	3	100000	200000	50	否
9	3	100000	200000	50	是
10	3	100000	200000	50	是

对于 100%的数据, $\le P \le 10^9,1 \le a_i,b_i \le N ,0 \le c_i \le 1000$ 。

数据保证：至少存在一条合法的路线。

历经3个月，我终于腾出时间来A这题了。。。

考场上因为不会（A*） k短路，于是爆0。。。

正解：反向图spfa+DP

设 f[u][j] 为到达 u节点时路径长与最短路径d的差为 j （即偏移量），于是：

我们枚举最后总的偏移量，然后记忆化搜索就行了。

但是这样真的对么？

你是不是忘了考虑它有的点不能到n（巨坑。。。），所以在算偏移量的时候依据从起点开始的最短路是不对的。

那这怎么办？

我们把边反过来，从n开始最短路，按照这个最短路来算偏移量就行了。

正确性应该是对的，在下不证了。。。

最后我们看0环——只要看(x, vib)这个状态是否被访问了两次就好了嘛。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#define MAXN 100010
#define MAXK 55
#define MAX 999999999
using namespace std;
int n,m,c=1,d=1,k,p,ans;
int ahead[MAXN],bhead[MAXN],path[MAXN],f[MAXN][MAXK];
bool flag,vis[MAXN],g[MAXN][MAXK];
struct node{
	int next,to,w;
}a[MAXN<<1],b[MAXN<<1];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void add(int u,int v,int w){
	a[c].to=v;a[c].w=w;
	a[c].next=ahead[u];
	ahead[u]=c++;
	b[d].to=u;b[d].w=w;
	b[d].next=bhead[v];
	bhead[v]=d++;
}
inline int relax(int u,int v,int w){
	if(path[v]>path[u]+w){
		path[v]=path[u]+w;
		return 1;
	}
	return 0;
}
void spfa(){
	int u,v;
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;}
	path[n]=0;
	vis[n]=true;
	q.push(n);
	while(!q.empty()){
		u=q.front();
		q.pop();
		vis[u]=false;
		for(int i=bhead[u];i;i=b[i].next){
			v=b[i].to;
			if(relax(u,v,b[i].w)&&!vis[v]){
				vis[v]=true;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	//for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",path[i]);
}
int dfs(int dis,int x){
	if(g[x][dis]){
		flag=true;
		return 0;
	}
	if(f[x][dis]!=-1)return f[x][dis];
	g[x][dis]=true;
	int s=0;
	for(int i=ahead[x];i;i=a[i].next){
		int v=a[i].to,t=dis-(path[v]+a[i].w-path[x]);
		if(t>k||t<0)continue;
		int x=dfs(t,v);
		s=(s+x)%p;
		if(flag)return 0;
	}
	g[x][dis]=false;
	if(x==n&&dis==0)s++;
	return f[x][dis]=s;
}
void work(){
	spfa();
	for(int i=0;i<=k;i++){
		memset(g,false,sizeof(g));
		int x=dfs(i,1);
		ans=(ans+x)%p;
	}
	if(flag)printf("-1\n");
	else printf("%d\n",ans);
}
void init(){
	int u,v,w;
	c=d=1;
	ans=0;
	flag=false;
	memset(ahead,0,sizeof(ahead));
	memset(bhead,0,sizeof(bhead));
	memset(f,-1,sizeof(f));
	n=read();m=read();k=read();p=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		u=read();v=read();w=read();
		add(u,v,w);
	}
	work();
}
int main(){
	int t=read();
	while(t--)init();
	return 0;
}