洛谷P1533 可怜的狗狗

本文解析了一道关于主席树的经典算法题,通过实例演示了如何使用主席树解决区间查询问题,涉及更新和查询操作。

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题目背景

小卡由于公务需要出差,将新家中的狗狗们托付给朋友嘉嘉,但是嘉嘉是一个很懒的人,他才没那么多时间帮小卡喂狗狗。

题目描述

小卡家有N只狗,由于品种、年龄不同,每一只狗都有一个不同的漂亮值。漂亮值与漂亮的程度成反比(漂亮值越低越漂亮),吃饭时,狗狗们会按顺序站成一排等着主人给食物。

可是嘉嘉真的很懒,他才不肯喂这么多狗呢,这多浪费时间啊,于是他每次就只给第i只到第j只狗中第k漂亮的狗狗喂食(好狠心的人啊)。而且为了保证某一只狗狗不会被喂太多次,他喂的每个区间(i,j)不互相包含。

输入输出格式

输入格式:

第一行输入两个数n,m,你可以假设n<300001 并且 m<50001;m表示他喂了m次。

第二行n个整数,表示第i只狗的漂亮值为ai。

接下来m行,每行3个整数i,j,k表示这次喂食喂第i到第j只狗中第k漂亮的狗的漂亮值。

输出格式:

M行,每行一个整数,表示每一次喂的那只狗漂亮值为多少。



输入输出样例

输入样例#1: 
7 2
1 5 2 6 3 7 4
1 5 3
2 7 1
输出样例#1: 
3
2
经典主席树裸题,虽然被打上了平衡树的标签。。。

打一发模板。。。

附代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 300010
using namespace std;
int n,m,k,c=1;
int b[MAXN],num[MAXN],root[MAXN];
struct node{
	int l,r,sum;
}a[MAXN*20];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void pushup(int rt){
	a[rt].sum=a[a[rt].l].sum+a[a[rt].r].sum;
}
void update(int k,int v,int l,int r,int &rt){
	int mid;
	a[c++]=a[rt];rt=c-1;
	if(l==k&&k==r){
		a[rt].sum+=v;
		return;
	}
	mid=l+r>>1;
	if(k<=mid)update(k,v,l,mid,a[rt].l);
	else update(k,v,mid+1,r,a[rt].r);
	pushup(rt);
}
int query(int i,int j,int k,int l,int r){
	if(l==r)return l;
	int mid=l+r>>1,t=a[a[j].l].sum-a[a[i].l].sum;
	if(k<=t)return query(a[i].l,a[j].l,k,l,mid);
	else return query(a[i].r,a[j].r,k-t,mid+1,r);
}
int main(){
	int x,y,z;
	n=read();m=read();
	a[0].l=a[0].r=a[0].sum=0;
	root[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b[i]=read();
		num[i]=b[i];
	}
	sort(num+1,num+n+1);
	k=unique(num+1,num+n+1)-num-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x=lower_bound(num+1,num+k+1,b[i])-num;
		root[i]=root[i-1];
		update(x,1,1,k,root[i]);
	}
	while(m--){
		x=read();y=read();z=read();
		printf("%d\n",num[query(root[x-1],root[y],z,1,k)]);
	}
	return 0;
}

输入输出样例

输入样例#1: 
7 2
1 5 2 6 3 7 4
1 5 3
2 7 1
输出样例#1: 
3
2
### 关于动态规划 (Dynamic Programming, DP) 的解决方案 在解决洛谷平台上的编程问题时,尤其是涉及动态规划的题目,可以采用以下方法来构建解决方案: #### 动态规划的核心思想 动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。其核心在于存储重复计算的结果以减少冗余运算。通常情况下,动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。 对于动态规划问题,常见的思路包括定义状态、转移方程以及边界条件的设计[^1]。 --- #### 题目分析与实现案例 ##### **P1421 小玉买文具** 此题是一个典型的简单模拟问题,可以通过循环结构轻松完成。以下是该问题的一个可能实现方式: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; // 输入购买数量n double p, m, c; cin >> p >> m >> c; // 输入单价p,总金额m,优惠券c // 计算总价并判断是否满足条件 if ((double)n * p <= m && (double)(n - 1) * p >= c) { cout << "Yes"; } else { cout << "No"; } return 0; } ``` 上述代码实现了基本逻辑:先读取输入数据,再根据给定约束条件进行验证,并输出最终结果[^2]。 --- ##### **UOJ104 序列分割** 这是一道经典的区间动态规划问题。我们需要设计一个二维数组 `f[i][j]` 表示前 i 次操作后得到的最大价值,其中 j 是最后一次切割的位置。具体实现如下所示: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 5e3 + 5; long long f[MAXN], sumv[MAXN]; int a[MAXN]; int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int n,k; cin>>n>>k; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; for(int i=1;i<=n;i++)sumv[i]=sumv[i-1]+a[i]; memset(f,-0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; for(int t=1;t<=k;t++){ vector<long long> g(n+1,LLONG_MIN); for(int l=t;l<=n;l++)g[l]=max(g[l-1],f[t-1][l-1]); for(int r=t;r<=n;r++)f[r]=max(f[r],g[r]+sumv[r]*t); } cout<<f[n]<<'\n'; return 0; } ``` 这段程序利用了滚动数组优化空间复杂度,同时保持时间效率不变[^3]。 --- ##### **其他常见问题** 针对更复杂的路径覆盖类问题(如 PXXXX),我们往往需要结合一维或多维动态规划模型加以处理。例如,在某些场景下,我们可以设定 dp 数组记录到达某一点所需最小代价或者最大收益等指标[^4]。 --- ### 总结 以上展示了如何运用动态规划技巧去应对不同类型的算法挑战。无论是基础还是高级应用场合,合理选取合适的数据结构配合清晰的状态转换关系都是成功解决问题的关键所在。
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