动态规划入门之求解Fibonacci数列

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动态规划入门之求解Fibonacci数列

斐波那契(Fibonacci)数列，除了可以用跟递归方法来处理，还可以使用动态规划方法(DP)来求解。区别在于，如果使用动态规划方法，中间结果要“缓存”起来，以备后续使用，这样时间复杂度即优化为O(N)。动态规划的具体做法就是将每次调用fibonacci(i)的结果“缓存”起来。

在普通电脑上，递归版本生成第50项斐波那契数用时可能超过一分钟，而动态规划方法只需几毫秒就能产生第10000项斐波那契数。当然，若采用int型变量，很快就会溢出，需要改为long long类型。

事实上，DP = “careful” Brute force = Sub-problem + reuse
Technique: memorization (记忆化，缓存)

伪代码(Memorized DP algorithm - pseudocode):

memo = {}
fib(n):
​   if n in memo: return memo[n]
​   if n<= 2: f = 1
​   else: f = fib(n-1) + fib(n-2)
​   memo[n] = f

return f 

子问题划分图示:

动态规划方法求解Fibonacci数列的代码如下:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

#define N 200000000
long long num[N+1];                  // 全局变量，初始化为0
long long fib(unsigned i)
{
    if (i <= 1)
        return i;
    if(num[i] != 0)
        return num[i];   // 不为0时表明数据有更新, 返回先前缓存的结果

    num[i] = fib(i-1) + fib(i-2);    // 缓存结果
    return num[i];
}

int main()
{
    int m;
    while(cin>>m)  // in: 1499 out: 6688774161928657529
    {
        cout<<fib(m)<<endl;
        // memset(num, 0, sizeof(num));
    }
    return 0;
}

事实上，对于10000位或以上位数，需使用BigInteger来存储。而C++官方自带库并无BigInteger类，下面用笔者较熟悉的C#和Java中的BigInteger类来实现一下~

用C#的BigInteger类实现的代码如下:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Numerics;

namespace Fibonacci_Large
{
    public class Solution
    {
        public static void Fib(int n)
        {
            List<BigInteger> fibonacci = new List<BigInteger>();
            fibonacci.Add(0);
            fibonacci.Add(1);
            BigInteger i = 2;
            while (i < n)
            {
                int first = (int)i - 2;
                int second = (int)i - 1;

                BigInteger firstNumber = fibonacci[first];
                BigInteger secondNumber = fibonacci[second];
                BigInteger sum = firstNumber + secondNumber;
                fibonacci.Add(sum);
                i++;
            }

            Console.WriteLine(fibonacci.LastOrDefault());
        }

        public static void Main(String[] args)
        {
            int n = 100000;
            Fibonacci.Fib(n);
        }
    }
}

ps: 记得在项目的Reference中加入System.Numerics库，加入成功后才能使用BigInteger~

而用Java的BigInteger则可实现如下:

import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.*;

public class Fibonacci
{
    // Returns n-th Fibonacci number
    static BigInteger fib(int n)
    {
        BigInteger a = BigInteger.valueOf(0);
        BigInteger b = BigInteger.valueOf(1);
        BigInteger c = BigInteger.valueOf(1);
        for (int j=2 ; j<=n ; j++)
        {
            c =  a.add(b);
            a = b;
            b = c;
        }

        return (a);
    }

    public static void main(String[] args)
    {
        int n = 100000;
        System.out.println("Fibonacci of " + n +
            "th term" + " " +"is" +" " + fib(n));
    }
}

相关参考:
http://blog.youkuaiyun.com/lzuacm/article/details/51164970

Crackling the Code Interview - chapter 9

动态规划概论 | Fogsail
http://www.fogsail.net/2017/02/02/20170202/