CF446C DZY Loves Fibonacci Numbers 线段树

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线段树&&树状数组

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本文介绍了一种利用斐波那契数列的性质解决区间加法和查询区间和的问题。通过预处理斐波那契数列，并结合线段树数据结构，实现了高效的区间操作算法。

给一个序列，接下来有若干条命令

1 L R ：给区间[L,R]之间的每个位置i，加上Fib(i-L+1),Fib（i）表示斐波那契数列第i项

2 L R ：返回区间[L,R]的区间和。

利用斐波那契数列的两个性质，若一个数列满足F(1)=a,F(2)=b,Fi=Fi-2+F(i-1)，则有F(n)=a*Fib(n-2)+b*Fib(n-1)，且F的前N项和等于F(n+2)-F（2）。

可以发现，对于任何一个形同斐波那契的序列，只要知道前两项，就可以O（1）求出第N项以及前K项和，这样再每次1命令的时候，直接给要修改的区间标上要增加的斐波那契数列的前两项就行，维护子树的时候左子树标记不变，右子树根据左子树中修改的数量，更新标记即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define lson id<<1,l,m
#define rson id<<1|1,m+1,r
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=300000+30;
const ll mod=1e9+9;
ll fib[maxn];
int n,m;
struct Mark
{
    ll a,b;
    Mark(){}
    Mark(ll x,ll y)
    {
        a=x; b=y;
    }
};
ll F(int x,ll a,ll b)
{
    return (fib[x-2]%mod*a%mod+fib[x-1]%mod*b%mod)%mod;
}
ll add(ll x,ll y)
{
	x+=y%mod;
	x=(x%mod+mod)%mod; 
	return x;
}
struct segmenttree
{
    Mark mark[maxn<<2];
    ll sum[maxn<<2];
    void init()
    {
        memset(mark,0,sizeof mark);
        memset(sum,0,sizeof sum);
    }
    void pushup(int id)
    {
	sum[id]=add(sum[id<<1|1],sum[id<<1]);

    }
    void pushdown(int id,int len)
    {
        if (mark[id].a==0 && mark[id].b==0) return;
	mark[id<<1].a=add(mark[id<<1].a,mark[id].a);
	mark[id<<1].b=add(mark[id<<1].b,mark[id].b);
	int midd=len-len/2;
	sum[id<<1]=add(sum[id<<1],add(F(midd+2,mark[id].a,mark[id].b),-mark[id].b));

        ll na=F(midd+1,mark[id].a,mark[id].b);
        ll nb=F(midd+2,mark[id].a,mark[id].b);
        mark[id<<1|1].a=add(mark[id<<1|1].a,na);
        mark[id<<1|1].b=add(mark[id<<1|1].b,nb);
	sum[id<<1|1]=add(sum[id<<1|1],add(F(len/2+2,na,nb),-nb));
        mark[id].a=mark[id].b=0;
        pushup(id);
    }
    void updata(int L,int R,int id,int l,int r,ll a,ll b)
    {
        int m=(l+r)>>1;
        int len=r-l+1;
        if (L==l && R==r)
        {
            mark[id].a=add(mark[id].a,a);
            mark[id].b=add(mark[id].b,b);
	    sum[id]=add(sum[id],add(F(len+2,a,b),-b));
            return;
        }
	pushdown(id,len);
        ll na,nb;
        if (R<=m)
        {
            updata(L,R,lson,a,b);
        }
        else if (L>m)
        {
            updata(L,R,rson,a,b);
        }
        else
        {
            na=F(m-L+1+1,a,b);
            nb=F(m-L+1+2,a,b);
            updata(L,m,lson,a,b);
            updata(m+1,R,rson,na,nb);
        }
        pushup(id);
    }
    ll query(int L,int R,int id,int l,int r)
    {
        if (L==l && R==r) return sum[id];
        int m=(l+r)>>1;
        pushdown(id,r-l+1);

        if (R<=m) return query(L,R,lson);
        else if (L>m) return query(L,R,rson);
        else return query(L,m,lson)+query(m+1,R,rson);
    }
}sgt;
void init()
{
    fib[0]=0;
    fib[1]=fib[2]=1;
    for (int i=3; i<maxn; i++)
    fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2],fib[i]%=mod;
}
ll a[maxn];
ll sum[maxn];
int main()
{
    init();
//freopen("in.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        sgt.init();
        memset(sum,0,sizeof sum);
        for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%I64d",&a[i]);
        sum[0]=0;
        for (int i=1; i<=n; i++)
        sum[i]=sum[i-1]+a[i],sum[i]%=mod;
        int x,y,z;
        for (int i=0; i<m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            if (x==1)
            {
                sgt.updata(y,z,1,1,n,1,1);
            }
            else
            {
		    ll tmp=add(sum[z],-sum[y-1]);
                cout<<(sgt.query(y,z,1,1,n)+tmp)%mod<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}