【Algorithm】扩展欧几里得算法

裴属定理

若 a，b 是整数，且 gcd(a, b) = d，那么对于任意的 x，y，a * x + b * y 一定是 d 的倍数，特别地，一定存在整数 x，y 使得 a * x + b* y = d。

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扩展欧几里得算法

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// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a/b) * x;
    return d;
}

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线性同余方程

因为 a∗x ≡ b(mod m) 等价于 a∗x−b 是 m 的倍数，因此线性同余方程等价为a∗x+m∗y = b
根据裴蜀定理，上述等式有解当且仅当 gcd(a,m) | b
因此先用扩展欧几里得算法求出一组整数 $x_0$，y_0, 使得 a∗$x_0$+m∗$y_0$ = gcd(a, m)。 然后 x = $x_0$∗b / gcd(a, m) % m 即是所求。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);

        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d) puts("impossible");
        else printf("%d\n", (LL)b / d * x % m);
    }

    return 0;
}