欧几里得算法与扩展算法

欧几里得算法(Euclidean Algorithm)

欧几里得算法(也称为辗转相除法)是一种查找两个正整数 $a$ 和 $b$ 的最大公约数的方法。
最大公约数(GCD - Greatest Common Divisor)，另一个名字是HCF(Highest Common Factor)。

例子1：令$a=210$，$b=45$
$$\begin{array}{rl}\underline{210}& =\underline{45}\ast 4+\underline{30}\\ \underline{45}& =\underline{30}\ast 1+\underline{15}\\ \underline{30}& =\underline{15}\ast 2+\underline{0}\end{array}$$

其中，下划线数字可以认为是一些固定变量，而上述式子中的$4$,$1$,$2$为这些固定变量的系数。
注意，当式子最后一个余数为0的时候，此时计算过程就结束了。

若采用编程语言进行表述，如下提供几个例子(注意输入时，一般假设$a>b>0$)：
(1)Python函数(请注意缩进关系)：

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a%b
    return a

(2)C语言函数：

int hcf(int a, int b) {
    if (b != 0) return hcf(b, a % b);
    else return a;
}

另外，最小公倍数(LCM, Lowest/Least Common Multiple)与最大公约数紧密相关，如果已经计算出$a$和$b$两个整数的最大公约数记为$c$，那么$lcm(a,b)=a/c\ast b=a\ast b/c$。

扩展欧几里得算法(Extended Euclidean Algorithm)

除了计算$a$和$b$两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数$x$和$y$(其中一个很可能是负数)。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实：给予二整数$a$与$b$, 必存在有整数$x$与$y$使得$ax+by=gcd(a,b)$。
扩展欧几里得算法还能够用于求解数论中乘法逆元(主要应用于密码学中)。

例子1续：令$a=210$，$b=45$
已知例子1中正向过程求得$gcd(210,45)=15$，以下提供逆向过程：
$$\begin{array}{rl}\underline{15}& =\underline{30}-\underline{15}\\ & =\underline{30}-[\underline{45}-\underline{30}]\\ & =\underline{30}\ast 2-\underline{45}\\ & =[\underline{210}-\underline{45}\ast 4]\ast 2-\underline{45}\\ & =\underline{210}\ast 2-\underline{45}\ast 9\end{array}$$
此时，便得到$x=2$，而$y=-9$。
在逆向过程中，首先提取一个最大公约数放在等式左边，接着通过正向过程中的等式代换$\underline{15}$，接着整理等式右侧；再代换$\underline{30}$，接着整理等式右侧；最后便得到形如$ax+by=gcd(a,b)$的式子。

例子2：令$a=7$，$b=26$，求取$x=a^{-1}\text{mod}b=7^{-1}\text{mod}26$
本题意思：求取$7$相对于模$26$乘法运算的逆元(即乘法逆元)。
前提：$gcd(a,b)=1$时，才存在乘法逆元，即$a$与$b$需要互为素数。
首先，提供正向过程(即应用辗转相除法)：
$$\begin{array}{rl}\underline{26}& =\underline{7}\ast 3+\underline{5}\\ \underline{7}& =\underline{5}\ast 1+\underline{2}\\ \underline{5}& =\underline{2}\ast 2+\underline{1}\end{array}$$
其中，下划线数字可以认为是一些固定变量，而上述式子中的$3$,$1$,$2$为这些固定变量的系数。
注意，当式子最后一个余数为1的时候，此时计算过程就结束了(注意与例1的区别)。
接着，提供逆向过程(与例1续稍有不同)：
$$\begin{array}{rl}\underline{1}& =\underline{5}-\underline{2}\ast 2\\ & =\underline{5}-[\underline{7}-\underline{5}]\ast 2\\ & =\underline{5}\ast 3-\underline{7}\ast 2\\ & =[\underline{26}-\underline{7}\ast 3]\ast 3-\underline{7}\ast 2\\ & =\underline{26}\ast 3-\underline{7}\ast 11\\ & =\underline{26}\ast 3+\underline{7}\ast 15\end{array}$$
此时，便得到$x=15$，而$y=3$。
在逆向过程中，首先将$\underline{1}$放在等式左边，接着通过正向过程中的等式代换$\underline{2}$，接着整理等式右侧；再代换$\underline{5}$，接着整理等式右侧；最后便得到形如$ax+by=gcd(a,b)$的式子。
另外，由于当前问题的乘法是模乘、加法是模加，所以最后得$-11\text{mod}26=15$。
另外，也可以看到$7\ast 15\text{mod}26=1$，即$7$与$15$相对于模$26$乘法运算互为乘法逆元。
注意，乘法逆元属于初等数论(讨论整数的计算性质与特殊规律)中的知识，主要应用于密码学等技术(密码学中的数据必须是确定的数值，不能采用浮点数或小数进行表示，即使采用字符串表示小数，那也是一种整型或整数的表示形式)中。

若采用编程语言进行表述，如下提供几个例子：
(1)Python函数(请注意缩进关系)：

def ext_euclid(a, b):     
    if b == 0:         
        return 1, 0, a     
    else:         
        x, y, q = ext_euclid(b, a % b)      
        x, y = y, (x - (a // b) * y)         
        return x, y, q

(2)C语言函数：

 int gcdEx(int a,int b,int*x,int*y)
{
    if(b==0)
    {
        *x=1,*y=0 ;
        return a ;
    }
    else 
    {
        int r=gcdEx(b,a%b,x,y);
        int t=*x ;
        *x=*y ;
        *y=t-a/b**y ;
        return r ;
    }
}