【Algorithm】最长上升子序列 II

CodeEcho

已于 2022-06-10 17:51:59 修改

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分类专栏： Algorithm 文章标签：贪心二分

于 2022-06-10 17:49:04 首次发布

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本文探讨了一种解决最长上升子序列问题的高效算法，通过动态规划和二分查找在O(n log n)的时间复杂度内求解。在数据规模较大导致传统动态规划方法超时时，这种方法显得尤为重要。代码示例分别展示了两种不同的实现方式，一种利用二分查找更新状态，另一种使用模拟堆栈进行优化。这两种方法都揭示了维护严格递增数组在解决此类问题中的关键作用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最长上升子序列 Ⅱ

这题看似是动态规划问题，但注意其数据范围。最长上升子序列动态规划做法的时间复杂度是 $O(n^2)$ ，此题数据范围较大，必超时。

首先，求最长上升子序列的问题和它的子问题有这样的依赖关系：

上图这样就可以求得序列 3 1 2 1 8 5 6 的 LIS 长度是 4 ，把 6 接在 1 2 5 后面即可。
所以，要求串 a[0...i] 的 LIS ，就要知道：串 a[0...i-1] 中各长度的上升子序列末尾元素的最小值。

后者可以用一个 q 数组来存储，q[i] 是所有长度为 i 的上升子序列末尾元素的最小值。这个数组是严格单调递增的（原因不赘述），所以每次只要用二分查找，在 O(logn) 的时间内就能从串 a[0...i-1] 对应的 q 数组求得串 a[0...i] 的 LIS ，完成状态转移。

q 数组的维护

接下来的难题就是如何在求得串 a[0...i] 的 LIS 后更新 q 数组，好让下一个到串 a[0...i+1] 的状态转移顺利发生。在下面的代码里面可以看到，实际上在每轮循环只需要做一件事：将本次发现的 LIS 的末尾元素赋值给 q[l+1]。为什么这么简单？有两点问题：

注意这里是直接赋值，而不是求min，为什么a[i]一定不大于q[l+1]？
为什么只修改q[l+1]这一项？其他项一定不需要更新吗？

画个图，就很清楚了，由于我们是二分搜索搜到的l，所以a[i]一定是严格大于 q[l]，而小于等于q[l+1]。

首先由于当前串的 LIS 长度就只有 l+1，所以 q[l+1] 后面的项肯定不会被更新。对于 q[1...l]，看这个例子就很容易明白了：

代码一

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int a[N];
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);

    int len = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int l = 0, r = len;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (q[mid] < a[i]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        len = max(len, l + 1);
        q[l + 1] = a[i];
    }

    printf("%d\n", len);

    return 0;
}

代码二

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

int main(void) {
    int n; 
    cin >> n;
    
    vector<int> arr(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> arr[i];

    vector<int> stk;//模拟堆栈
    stk.push_back(arr[0]);

    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (arr[i] > stk.back())//如果该元素大于栈顶元素,将该元素入栈
            stk.push_back(arr[i]);
        else//替换掉第一个大于或者等于这个数字的那个数
            *lower_bound(stk.begin(), stk.end(), arr[i]) = arr[i];
    }
    cout << stk.size() << endl;
    return 0;
}
/*
例 n: 7
arr : 3 1 2 1 8 5 6

stk : 3

1 比 3 小
stk : 1

2 比 1 大
stk : 1 2

1 比 2 小
stk : 1 2

8 比 2 大
stk : 1 2 8

5 比 8 小
stk : 1 2 5

6 比 5 大
stk : 1 2 5 6

stk 的长度就是最长递增子序列的长度

*/