28、小波分析中的过渡算子、Gramian 函数与紧支撑正交小波

小波分析中的过渡算子、Gramian 函数与紧支撑正交小波

1. 过渡算子相关练习

在过渡算子的研究中，有一系列相关练习。例如，对于不同的序列 (p = {p_k})，我们需要计算相关矩阵的特征值等。
- 设 (p = {p_k} {k = 0}^2)，其中 (p_0 = p_2=\frac{1}{2})，(p_1 = 1)。令 (Q_p) 为 (T_p) 限制在 (V_3) 上的表示矩阵，需要计算 (Q_p) 的特征值，并与之前例子中 (T_p) 的特征值进行比较。
- 对于不同取值范围的 (p = {p_k})，如 (p = {p_k} {k=-1}^1)、(p = {p_k} {k = 0}^3) 等，重复上述计算特征值的操作。
- 若 (p = {p_k} {k = 0}^N)，设 (T_p) 和 (Q_p) 分别是 (T_p) 限制在 (V_{2N + 1}) 和 (V_{2N - 1}) 上的表示矩阵，需要找出 (T_p) 和 (Q_p) 特征值之间的关系。
- 还需要在假设某式对 (n = k) 成立的情况下，证明该式对 (n = k + 1) 也成立。

2. Gramian 函数 (G_{\varphi}(\omega))

2.1 定义与性质

对于 (\varphi\in L^2(\mathbb{R}))，定义 (G_{\varphi}(\omega)=\sum_{\ell\in\mathbb{Z}}|\hat{\varphi}(\omega + 2\pi\ell)|^2)；对于 (\varphi,\tilde{\varphi}\in L^2(\mathbb{R}))，定义 (G_{\tilde{\varphi},\varphi}(\omega)=\sum_{\ell\in\mathbb{Z}}\hat{\tilde{\varphi}}(\omega + 2\pi\ell)\hat{\varphi}(\omega + 2\pi\ell))。
定理表明 (G_{\varphi}) 和 (G_{\tilde{\varphi},\varphi}) 具有以下性质：
- (G_{\varphi}) 和 (G_{\tilde{\varphi},\varphi}) 是 (2\pi) 周期的函数，且属于 (L^1[-\pi,\pi])。
- (G_{\varphi}) 和 (G_{\tilde{\varphi},\varphi}) 可以展开为：
- (G_{\varphi}(\omega)=\sum_{k}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\varphi(x - k)dx e^{-ik\omega})
- (G_{\tilde{\varphi},\varphi}(\omega)=\sum_{k}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\varphi}(x)\varphi(x - k)dx e^{-ik\omega})

证明过程如下：
- 为证明 (G_{\varphi}\in L^1[-\pi,\pi])，利用 Parseval 公式：
[
\begin{align }
2\pi|\varphi|^2&=|\hat{\varphi}|^2=\sum_{\ell = -\infty}^{\infty}\int_{2\pi\ell-\pi}^{2\pi\ell+\pi}|\hat{\varphi}(\omega)|^2d\omega\
&=\sum_{\ell = -\infty}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}|\hat{\varphi}(\omega + 2\pi\ell)|^2d\omega=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{\ell = -\infty}^{\infty}|\hat{\varphi}(\omega + 2\pi\ell)|^2d\omega=\int_{-\pi}^{\pi}G_{\varphi}(\omega)d\omega
\end{align }
]
由于 (|\hat{\varphi}(\omega + 2\pi\ell)|^2\geq0)，所以可以交换积分和求和符号，从而得出 (G_{\varphi}(\omega)\in L^1[-\pi,\pi])。再根据 (|G_{\tilde{\varphi},\varphi}(\omega)|\leq\sqrt{G_{\tilde{\varphi}}(\omega)G_{\varphi}(\omega)})，可知 (G_{\tilde{\varphi},\varphi}(\omega)\in L^1[-\pi,\pi])，且显然 (G_{\varphi}(\omega)) 和 (G_{\tilde{\varphi},\varphi}(\omega)) 是 (2\pi) 周期的。
- 对于展开式的证明，因为 (G_{\tilde{\varphi},\varphi}(\omega)) 是 (2\pi) 周期且属于 (L^1[-\pi,\pi]) 的函数，它可以展开为傅里叶级数。通过一系列积分变换和 Parseval 公式，可得到其展开式。

2.2 三角函数多项式情况

如果 (\varphi\in L^2(\mathbb{R})) 是紧支撑的，那么 (G_{\varphi}(\omega)) 是一个三角函数多项式。具体来说，如果 (\text{supp}(\varphi)\subseteq[N_1,N_2])，则 (G_{\varphi}(\omega)=\sum_{k = -(N_2 - N_1 - 1)}^{N_2 - N_1 - 1}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\varphi(x - k)dx e^{-ik\omega})。同理，若 (\tilde{\varphi}) 和 (\varphi) 都是紧支撑的，(G_{\tilde{\varphi},\varphi}(\omega)) 也是三角函数多项式。

2.3 示例计算

• 示例 1 ：设 (\varphi(x)=\chi_{[0,1)}(x))，由于 (\text{supp}(\varphi)\subseteq[0,1])，根据公式只需计算 (\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\varphi(x)dx=\int_{0}^{1}1^2dx = 1)，所以 (G_{\varphi}(\omega)=1)，(\forall\omega\in\mathbb{R})。
• 示例 2 ：设 (\varphi=\min{x,2 - x}\chi_{[0,2)}(x))，即帽函数。因为 (\text{supp}(\varphi)\subseteq[0,2])，计算相关积分：
  • (\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\varphi(x - 1)dx=\int_{1}^{2}(2 - x)(x - 1)dx=\frac{1}{6})
  • (\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\varphi(x)dx = 2\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{2}{3})
  • (\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\varphi(x + 1)dx=\int_{1}^{2}(2 - x)(x - 1)dx=\frac{1}{6})
    则 (G_{\varphi}(\omega)=\sum_{k=-1}^{1}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\varphi(x - k)dx e^{-ik\omega}=\frac{1}{6}e^{i\omega}+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}e^{-i\omega}=\frac{1}{3}(2+\cos\omega))。

2.4 定理：(G_{\varphi}(\omega)) 是 (T_p) 的 1 - 特征函数

设 (\varphi) 是具有细化掩码 (p = {p_k} {k = 0}^N) 的紧支撑可细化函数，且 (\varphi\in L^2(\mathbb{R}))，则 (G {\varphi}(\omega)\in V_{2N + 1}) 且 (G_{\varphi}(\omega)) 是 (T_p) 的 1 - 特征函数，即 (T_pG_{\varphi}=G_{\varphi})。证明过程主要利用了 (G_{\varphi}(\omega)) 的表达式和 (T_p) 的定义进行推导。

2.5 正交性与稳定性的刻画

• 正交性 ：设 (\varphi\in L^2(\mathbb{R}))，则 (\varphi) 正交当且仅当 (G_{\varphi}(\omega)=1)，几乎处处 (\omega\in\mathbb{R})。同样，两个函数 (\tilde{\varphi}) 和 (\varphi) 双正交当且仅当 (G_{\tilde{\varphi},\varphi}(\omega)=1)，几乎处处 (\omega\in\mathbb{R})。
• 稳定性 ：设 (\varphi\in L^2(\mathbb{R}))，(\varphi) 稳定当且仅当存在常数 (c,C>0)，使得 (0 < c\leq G_{\varphi}(\omega)\leq C<\infty)，几乎处处 (\omega\in[-\pi,\pi])。若 (\varphi) 是紧支撑的，则 (\varphi) 稳定当且仅当 (G_{\varphi}(\omega)>0)，(\omega\in[-\pi,\pi])。

以下是稳定性判断的示例：
|函数| (G_{\varphi}(\omega)) 表达式|稳定性判断|
| ---- | ---- | ---- |
| (\varphi(x)=\min{x,2 - x}\chi_{[0,2)}(x)) | (G_{\varphi}(\omega)=\frac{1}{3}(2+\cos\omega)) | 稳定，因为 (G_{\varphi}(\omega)>0) |
| (\varphi(x)=\frac{1}{3}\chi_{[0,3)}(x)) | (G_{\varphi}(\omega)=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}\cos\omega+\frac{2}{9}\cos2\omega) | 不稳定，因为 (G_{\varphi}(\frac{2\pi}{3}) = 0) |

3. 紧支撑正交小波的构造

mermaid 代码如下：

graph TD
    A[构造正交小波] --> B[构造正交尺度函数]
    B --> C[构造正交镜像滤波器组（QMF）]
    C --> D[低通滤波器的和规则性质与小波的消失矩]
    D --> E[构造正交小波的步骤]
    E --> F[得到 Daubechies 正交小波]

3.1 构造思路

要构造一个实值小波 (\psi)，使得 (\psi_{j,k}(x)=2^{j/2}\psi(2^j x - k))，(j,k\in\mathbb{Z}) 构成 (L^2(\mathbb{R})) 的正交基。我们从一个生成正交多分辨率分析（MRA）({V_j}) 的实值函数 (\varphi) 开始。设 (W_j = V_{j + 1}\ominus V_j)，若 (\psi) 的整数平移构成 (W_0) 的标准正交基，那么 (\psi) 就是正交小波。
(\psi) 可以表示为 (\psi(x)=\sum_{k}q_k\varphi(2x - k))，其中 ({q_k}) 是有限序列。同时，需要满足 (\langle\varphi,\psi(\cdot - k)\rangle = 0)，(k\in\mathbb{Z}) 以及 (\varphi(2x)=\sum_{k}c_k\varphi(x - k)+\sum_{k}d_k\psi(x - k))。

3.2 定理与示例

• 定理 1 ：设 (\varphi\in L^2(\mathbb{R})) 是紧支撑正交可细化函数，若 (\psi) 满足上述条件，则 (\psi) 是紧支撑正交小波。
• 示例（Haar 小波） ：设 (\varphi(x)=\chi_{[0,1)}(x)) 是 Haar 尺度函数，定义 (\psi(x)=\varphi(2x)-\varphi(2x - 1))。通过计算内积可验证 (\psi) 满足正交小波的条件，所以它是 Haar 小波。

3.3 正交性与 QMF 的关系

设 (\varphi\in L^2(\mathbb{R})) 是具有细化掩码 ({p_k}) 的可细化函数，若 (\varphi) 正交，则 (p(\omega)) 是 QMF，即 (|p(\omega)|^2+|p(\omega+\pi)|^2 = 1)，(\omega\in\mathbb{R})。并且，由 (\psi(x)=\sum_{k}q_k\varphi(2x - k)) 定义的 (\psi) 满足相关正交条件当且仅当 (|q(\omega)|^2+|q(\omega+\pi)|^2 = 1) 和 (p(\omega)q(\omega)+p(\omega+\pi)q(\omega+\pi)=0)。对于 QMF (p(\omega))，可以选择 (q(\omega)=-p(\omega+\pi)e^{-i(2L - 1)\omega})。

3.4 正交性的特征刻画

通过过渡算子 (T_p) 的特征值来刻画 (\varphi) 的正交性。若一个三角函数多项式 (p(\omega)) 是 QMF 且 (p(0)=1)，则相关可细化函数 (\varphi) 属于 (L^2(\mathbb{R})) 且正交当且仅当 (p(\pi)=0) 且过渡算子 (T_p) 满足条件 E（1 是 (T_p) 的单特征值，其他特征值 (\lambda) 满足 (|\lambda|<1)）。

3.5 和规则与消失矩

• 和规则阶 ：有限序列 (p = {p_k}) 的和规则阶为 (L) 当且仅当 (p(0)=1)，(\frac{d^{\ell}}{d\omega^{\ell}}p(\pi)=0)，(\ell = 0,1,\cdots,L - 1)。
• 消失矩 ：一个紧支撑函数 (\psi\in L^2(\mathbb{R})) 具有 (L) 阶消失矩当且仅当 (\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)x^{\ell}dx = 0)，(\ell = 0,1,\cdots,L - 1)。若 (p(\omega)) 具有和规则阶 (L)，则由 (q(\omega)=-p(\omega+\pi)e^{-i(2L - 1)\omega}) 定义的 (\psi) 具有 (L) 阶消失矩。

3.6 构造紧支撑正交小波的步骤

为构造具有 (L) 阶消失矩的正交小波，我们从形式为 (p(\omega)=(\frac{1 + e^{-i\omega}}{2})^Lp_0(\omega)) 的 QMF 开始。通过一系列推导，将问题转化为求解多项式 (P) 满足的方程 ((1 - y)^L P(y)+y^L P(1 - y)=1)，(y\in[0,1])。通过对不同 (L) 值下多项式的因式分解，我们可以得到不同的正交滤波器，如 Haar 小波（(L = 1)）、D4 滤波器（(L = 2)）、D6 滤波器（(L = 3)）、D8 滤波器（(L = 4)）等。

总结

本文围绕过渡算子、Gramian 函数和紧支撑正交小波展开了详细的讨论。通过对过渡算子相关练习的分析，加深了对其特征值计算和关系的理解。Gramian 函数在刻画函数的正交性和稳定性方面具有重要作用，通过示例展示了其计算方法。在紧支撑正交小波的构造中，我们从 MRA 出发，逐步推导到正交镜像滤波器组的构造，以及和规则与消失矩的关系，最终给出了构造不同类型正交小波的具体步骤。这些内容在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用前景。

4. 不同阶数的正交滤波器构造

4.1 Haar 小波（(L = 1)）

当 (L = 1) 时，(P_0(y) = 1)，则 (|p(\omega)|^2 = \cos^2\frac{\omega}{2}=\frac{1}{4}(1 + z)(1 + \frac{1}{z}))，其中 (z = e^{-i\omega})。
所以 (p(\omega)=\frac{1}{2}(1 + z)=\frac{1}{2}(1 + e^{-i\omega}))，(q(\omega)=-p(\omega + \pi)e^{-i(2\times1 - 1)\omega}=\frac{1}{2}(1 - e^{-i\omega}))，由此得到 Haar 小波。

4.2 D4 滤波器（(L = 2)）

当 (L = 2) 时，令 (y = \sin^2\frac{\omega}{2}=\frac{1}{4}(2 - z - \frac{1}{z}))，(P_1(y)=1 + 2y = 2-\frac{1}{2}z-\frac{1}{2}\frac{1}{z}=-\frac{1}{2z}(z^2 - 4z + 1))。
方程 (z^2 - 4z + 1 = 0) 的根为 (r_1 = 2 - \sqrt{3})，(r_2 = 2 + \sqrt{3})，且 (r_2=\frac{1}{r_1})。
我们可以选择 (p_0(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2r_1}}(z - r_1)=\frac{1 + \sqrt{3}}{2}(z-(2 - \sqrt{3})))，则 (p(\omega)=(\frac{1 + z}{2})^2p_0(\omega)=\frac{1 - \sqrt{3}}{8}+\frac{3 - \sqrt{3}}{8}z+\frac{3 + \sqrt{3}}{8}z^2+\frac{1 + \sqrt{3}}{8}z^3)。
对应的高通滤波器 (q(\omega)=-p(\omega + \pi)e^{-i(2\times2 - 1)\omega}=\frac{1 + \sqrt{3}}{8}-\frac{3 + \sqrt{3}}{8}z+\frac{3 - \sqrt{3}}{8}z^2-\frac{1 - \sqrt{3}}{8}z^3)。

4.3 D6 滤波器（(L = 3)）

对于 (L = 3)，先将 (P_2(y)=1 + 3y + 6y^2) 因式分解为 (P_2(y)=6(y - y_1)(y - y_2))，其中 (y_1,y_2 = -\frac{1}{4}\pm\frac{i\sqrt{15}}{12})。
令 (y = \sin^2\frac{\omega}{2}=\frac{1}{4}(2 - z - \frac{1}{z}))，则 (P_2(y)=\frac{3}{8}(z+\frac{1}{z}-c)(z+\frac{1}{z}-c))，其中 (c = \frac{3 - i\sqrt{15}}{3})。
设 (z_0=\frac{1}{2}(c-\sqrt{c^2 - 4})) 是 (z^2 - cz + 1 = 0) 的一个根，进一步因式分解 (P_2(y)) 后得到 (p(\omega)=(\frac{1 + z}{2})^3\sqrt{\frac{6}{4}}\frac{1}{|z_0|}(z^2 - 2\mathrm{Re}(z_0)z + |z_0|^2))。
其非零系数 (p_k) 分别为：
| (k) | (p_k) |
| ---- | ---- |
| (0) | (\frac{1}{16}(1+\sqrt{10}-\sqrt{5 + 2\sqrt{10}})) |
| (1) | (\frac{1}{16}(5+\sqrt{10}-3\sqrt{5 + 2\sqrt{10}})) |
| (2) | (\frac{1}{8}(5-\sqrt{10}-\sqrt{5 + 2\sqrt{10}})) |
| (3) | (\frac{1}{8}(5-\sqrt{10}+\sqrt{5 + 2\sqrt{10}})) |
| (4) | (\frac{1}{16}(5+\sqrt{10}+3\sqrt{5 + 2\sqrt{10}})) |
| (5) | (\frac{1}{16}(1+\sqrt{10}+\sqrt{5 + 2\sqrt{10}})) |
高通滤波器 ({q_k}) 可选择为 (q_k = (-1)^k p_{5 - k})，(k\in\mathbb{Z})。

4.4 D8 滤波器（(L = 4)）

当 (L = 4) 时，(P_3(y)=1 + 4y + 10y^2 + 20y^3) 可因式分解为 (P_3(y)=20(y - \theta)(y^2+(\theta+\frac{1}{2})y-\frac{1}{20\theta}))，其中 (\theta\approx - 0.3423840948583691)。
令 (y=\frac{1}{4}(2 - z - \frac{1}{z}))，对 (P_3(y)) 进行因式分解后得到 (p(\omega)=(\frac{1 + z}{2})^3p_0(\omega))，其非零系数 (p_k) 如下：
| (k) | (p_k) |
| ---- | ---- |
| (0) | (-0.0149869893303615) |
| (1) | (0.0465036010709818) |
| (2) | (0.0436163004741773) |
| (3) | (-0.2645071673690398) |
| (4) | (-0.0395750262356446) |
| (5) | (0.8922001382467596) |
| (6) | (1.0109457150918289) |
| (7) | (0.3258034280512984) |
高通滤波器 ({q_k}) 可选择为 (q_k = (-1)^k p_{7 - k})，(k\in\mathbb{Z})。

5. 相关练习

以下是一些相关练习，通过这些练习可以进一步巩固所学知识：
- 过渡算子练习 ：
- 设 (p = {p_k} {k = 0}^2)，(p_0 = p_2=\frac{1}{2})，(p_1 = 1)，计算 (Q_p) 的特征值并与 (T_p) 的特征值比较。
- 重复上述计算，对于 (p = {p_k} {k=-1}^1) 和 (p = {p_k} {k = 0}^3) 等不同序列。
- 找出 (T_p) 和 (Q_p) 特征值之间的关系（(p = {p_k} {k = 0}^N)）。
- 证明某式在 (n = k + 1) 时成立，假设该式在 (n = k) 时成立。
- Gramian 函数练习 ：
- 设 (\varphi(x)=\chi_{[0,1.5)}(x))，计算 (G_{\varphi}(\omega)) 并讨论其稳定性。
- 对于 (\varphi(x)=\chi_{[0,1)}(x)+\frac{1}{2}\chi_{[1,2)}(x))，重复上述计算。
- 设 (\varphi(x)) 是帽函数，(\phi(x)=\varphi(x)+\varphi(x - 1))，计算 (G_{\phi}(\omega)) 并讨论稳定性；再对 (\phi(x)=\varphi(x)+\frac{1}{2}\varphi(x - 1)) 进行同样操作。
- 对于 (\varphi=\phi_0 \phi_0 \phi_0)（二次 B - 样条），计算 (G_{\varphi}(\omega)) 并讨论稳定性。
- 紧支撑正交小波练习 ：
- 证明若 ({V_j}) 是正交 MRA，(W_j = V_{j + 1}\ominus V_j)，则 (W_j\perp W_k)（(j\neq k)）且 (\bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}W_j = L^2(\mathbb{R}))。
- 证明 (W_j={g(x):g(2^{-j}x)\in W_0})。
- 直接证明 Haar 小波 ({ \psi_{j,k}(x)})，(j,k\in\mathbb{Z}) 是正交的。
- 证明若 (p(\omega)) 是 QMF，则 (p(-\omega)e^{-in\omega}) 也是 QMF（(n\in\mathbb{Z})）。
- 若 FIR 滤波器 (p(\omega))，(q(\omega)) 满足 (|p(\omega)|^2+|p(\omega + \pi)|^2 = 1)，(|q(\omega)|^2+|q(\omega + \pi)|^2 = 1)，(p(\omega)q(\omega)+p(\omega + \pi)q(\omega + \pi)=0)，证明对于任意 (n,m\in\mathbb{Z})，(p(\omega)e^{-in\omega})，(q(\omega)e^{-i(n + 2m)\omega}) 也满足这些条件。
- 设 (\varphi(x)) 是具有二尺度符号 (p(\omega)) 的可细化函数，(\phi(x)) 是具有二尺度符号 (p(\omega)e^{-in\omega}) 的可细化函数，找出 (\varphi(x)) 和 (\phi(x)) 的关系。
- 设 (\psi(x)) 由 (\psi(x)=\sum_{k}q_k\varphi(2x - k)) 定义，(f(x)) 由二尺度符号 (q(\omega)e^{-i2m\omega}) 定义，找出 (\psi(x)) 和 (f(x)) 的关系。
- 证明 (\frac{d^{\ell}}{d\omega^{\ell}}p(\pi)=0)（(\ell = 0,1,\cdots,L - 1)）等价于 (\sum_{k}p_k = 2)，(\sum_{k}(2k)^{\ell}p_{2k}=\sum_{k}(2k + 1)^{\ell}p_{2k + 1})（(\ell = 0,1,\cdots,L - 1)）。
- 对于不同的细化掩码 (p = {p_k})，如 (p_0 = p_1 = p_2 = p_3=\frac{1}{2})；(p_0=\frac{1}{4})，(p_1=\frac{3}{4})，(p_2=\frac{3}{4})，(p_3=\frac{1}{4}) 等，求其和规则阶。

6. 总结与展望

通过上述内容，我们系统地学习了过渡算子、Gramian 函数和紧支撑正交小波的相关知识。过渡算子的特征值计算帮助我们深入理解其性质，Gramian 函数为刻画函数的正交性和稳定性提供了有效工具，而紧支撑正交小波的构造则是信号处理等领域的重要基础。

在实际应用中，不同阶数的正交滤波器（如 Haar 小波、D4 滤波器、D6 滤波器、D8 滤波器等）具有不同的特性和适用场景。随着技术的不断发展，小波分析在更多领域的应用将得到拓展，例如在医学图像分析中，利用小波的多分辨率特性可以更好地进行图像的特征提取和降噪；在金融时间序列分析中，小波可以帮助分析不同时间尺度下的市场波动。

未来的研究方向可以集中在如何进一步优化正交滤波器的设计，以提高其在特定应用中的性能；探索小波分析与其他数据分析方法的结合，创造出更强大的分析工具。同时，对于高维小波的研究也将是一个重要的发展方向，以满足处理多维数据的需求。

mermaid 代码如下：

graph LR
    A[过渡算子] --> B[特征值计算与关系]
    C[Gramian 函数] --> D[正交性与稳定性刻画]
    E[紧支撑正交小波] --> F[不同阶数滤波器构造]
    B --> G[应用拓展]
    D --> G
    F --> G
    G --> H[医学图像分析]
    G --> I[金融时间序列分析]
    G --> J[其他领域应用]

这个流程图展示了过渡算子、Gramian 函数和紧支撑正交小波的知识体系，以及它们在不同领域的应用拓展。通过不断深入研究和创新，小波分析将在更多领域发挥重要作用。