7、矩阵分析与线性变换知识详解

矩阵分析与线性变换知识详解

1. 矩阵分析相关问题

在矩阵分析中，有一系列关于矩阵秩和线性变换的问题值得探讨。

1.1 矩阵秩的问题

• 问题1：rank(AB) = rank(BA)是否总是成立
  已知A和B分别是m×n和n×m的矩阵，需要判断rank(AB) = rank(BA)是否总是成立。若成立，需给出证明；若不成立，则需给出反例。
• 问题2：矩阵不等式的证明
  要证明对于相同大小的两个矩阵B和C，不等式(2.1.9)成立；对于大小合适的两个矩阵B和C，不等式(2.1.10)成立。
• 问题3：非奇异矩阵变换对矩阵秩的影响
  需证明对矩形矩阵B进行非奇异矩阵变换不会改变其秩，即rank(B) = rank(AB) = rank(BC)，其中A和C为非奇异矩阵。
• 问题4：特定矩阵组合的秩的判断
  已知矩阵A1、A2、A3，需要判断以下几个等式或不等式是否成立：
  • rank(A1 A2) = rank(A2 A1)
  • rank(A1 AT3) = rank(A1)
  • rank(A1 AT3) = rank(A3)
  • rank(AT2 AT3) ≤ min{rank(A2), rank(A3)}

2. 线性变换的基本概念

线性变