44、量子信息论中的熵与互信息

量子信息论中的熵与互信息

在量子信息论中，熵和互信息是描述量子系统信息特性的重要概念。下面将详细介绍相对熵、联合熵、条件熵和互信息的相关内容。

子系统密度算符与熵的关系

对于一个处于纯态的复合系统，通过部分求迹（partial tracing）的方法可以得到子系统的密度算符。例如，通过一系列计算可得：
[
\begin{align }
tr_B|\psi\rangle\langle\psi| &= tr_B\left(\sum_{ik}x_ix_k|k_A\rangle\langle i_A|\otimes|k_B\rangle\langle i_B|\right)\
&= \sum_{ik}x_ix_k|k_A\rangle\langle i_A|\times tr_B(|k_B\rangle\langle i_B|)\
&= \sum_{ik}x_ix_k|k_A\rangle\langle i_A|\times \langle k_B|i_B\rangle\
&= \sum_{ik}x_ix_k\delta_{ik}|k_A\rangle\langle i_A|\
&= \sum_{i}x_i^2|i_A\rangle\langle i_A|\equiv\rho_A
\end{align }
]
由于施密特系数的性质(\sum_{i}x_i^2 = 1)，使得({x_i^2})构成了相应的概率分布。当复合系统处于纯态时，有(\rho_A = \rho_B)，进而(S(\rho_A) = S(\rho_B))。

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