70、量子最大匹配算法详解

量子最大匹配算法详解

1. 查询复杂度概述

在图论中，我们常常需要找出图的最大匹配。为了实现这一目标，在列表和矩阵模型下，我们通过查询一个函数来了解图 $G$ 的边信息。假设图 $G$ 是 $n$ 个顶点的完全图的子图，顶点用 $[n] = {0, 1, \ldots, n - 1}$ 中的元素标记。

• 邻接矩阵模型 ：有函数 $E_M : [n] \times [n] \to {0, 1}$，当且仅当边 $xy \in E(G)$ 时，$E_M(x, y) = 1$。
• 邻接列表模型 ：有函数 $E_L : [n] \times [n] \to [n] \cup {null}$，其中
  • 若 $y$ 是 $x$ 的第 $i$ 个邻居，则 $E_L(x, i) = y$；
  • 若 $u$ 的邻居数少于 $i$，则 $E_L(x, i) = null$。

经典有界误差查询复杂度指的是，为了以高概率找到最大匹配，我们必须评估函数的次数。

在量子模型中，我们可以访问称为预言机的酉算子，它们编码了函数 $E_M$ 和 $E_L$ 的信息。

• 邻接矩阵模型预言机 $O_M$ ：作用于希尔伯特空间 $\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^2$，对于边 $e = xy$ 和 $b \in {0, 1}$，有 $O_M|e\rangle|b\rangl