54、公平相关聚类算法研究与分析

公平相关聚类算法研究与分析

在聚类问题中，公平相关聚类是一个重要的研究方向。本文将深入探讨公平相关聚类以及局部公平相关聚类的相关算法和分析。

公平相关聚类问题描述

公平相关聚类问题可以用一个无权重的完全图 (G = (V, E)) 来表示，其中边集 (E) 被划分为 (E^-) 和 (E^+)，顶点集 (V) 被划分为红色顶点集 (V_R) 和蓝色顶点集 (V_B)。边 (e \in E) 的标签根据其所属集合为 (-) 或 (+)。目标是找到一个顶点的划分 (C \subseteq 2^V)，使得每个聚类中红色和蓝色顶点的数量相同，并且不开心边（unhappy edges）的总数最小。对于边 (e = (u, v) \in E^+)，如果 (u) 和 (v) 属于不同的聚类，则该边为不开心边；对于边 (e = (u, v) \in E^-)，如果 (u) 和 (v) 属于相同的聚类，则该边为不开心边。

我们有以下用于经典公平相关聚类的线性规划（LPcc）：
[
\begin{align }
\min &\sum_{(u,v) \in E^+} x_{u,v} + \sum_{(u,v) \in E^-} (1 - x_{u,v}) \
\text{s.t.} &\quad x_{u,v} + x_{v,w} \geq x_{u,w}, \quad \forall u, v, w \in V \
& \quad x_{u,v} = x_{v,u}, \quad \forall u, v \in V \
& \quad x_{u,u} = 0, \quad \forall u \i