53、图定价与公平相关聚类算法解析

图定价与公平相关聚类算法解析

图定价问题

在图定价问题中，我们主要关注有限供应下的图定价以及基于线性规划（LP）的近似算法。

基于局部搜索的近似算法回顾

之前的研究重点在于基于局部搜索的近似算法，这里我们将目光转向L - 侧定价的线性规划松弛问题。对于每个顶点 (u \in L)，(P_u = {b_e : e \in \delta(u)}) 是顶点 (u) 的可能价格集合，并且存在一个最优解，它会从 (P_u) 中为每个 (u \in L) 选择价格 (p(u))。
为了构建线性规划模型，我们引入了一些变量：
- 对于 (u \in L) 和 (p \in P_u)，(y_{u,p}) 表示为顶点 (u) 选择价格 (p) 的变量。
- 对于每条边 (e = uv \in E) 和 (p \in P_u)，(x_{e,p}) 表示边 (e) 被选中且顶点 (u) 被分配价格 (p) 的变量。

下面是线性规划松弛模型（LP - Pricing）：
- 目标函数 ：
- 最大化 (\sum_{e = uv} \sum_{p \in P_u} p \cdot x_{e,p})
- 约束条件 ：
1. (\sum_{p \in P_u} y_{u,p} = 1)，对于所有 (u \in L)
2. (\sum_{e \in \delta(u)} x_{e,p} \leq y_{u,p} \cdot \mu_u)，对于所有 (u \in L)，(p \in P_u)
3. (\sum_{e = uv