44、加强参数最小生成树的下界

加强参数最小生成树的下界

1. 单三角形的参数生成树问题

在单三角形 (pqr) 的参数生成树问题中，我们设定了如下的边权函数：
- (f_3 = 3)
- (f_1 = \lambda - 1)
- (f_2 = 4 - \lambda)

路径 (prq) 的瓶颈分别为 (f_2) 和 (f_1)，路径 (pq) 的瓶颈为 (f_3)，从 (p) 到 (q) 的最小生成树路径的瓶颈为 (\min(\max(f_1, f_2), f_3))。

当在 (G^+) 中收缩最小非瓶颈边时，会产生一个具有两条边 (pq) 的多重图，其中较轻的边就是瓶颈边。若只保留较轻的边，就能得到 (G) 上的权重，这是 (G^+) 中最小生成树边收缩的结果，并且这种收缩会保留剩余最小生成树权重的集合。

在参数情况下，用一个三角形 (pqr) 替换边 (pq)，且每个三角形边具有线性参数权重，会使该边表现得如同具有一个非线性分段线性权重函数，这个函数将参数 (\lambda) 映射到三角形 (pqr) 中从 (p) 到 (q) 的瓶颈权重。

2. 加权 2 - 树的参数权重分配

为了得到 (\Omega(n \log n)) 下界，我们需要为 (T_i) 的边分配参数权重，具体步骤如下：
1. 递归构建 (T_{i - 1}) 边的权重函数 ：从 (T_0) 开始，其单条边的权重可以使用任意线性函数，因为无论选择何种函数，它都只有一个生成树。对于 (i > 0) 的 (T_i)，先递归构建 (T_{i - 1}) 边的权重函数。
2.