43、排列置换与逆置换的原地算法及参数化最小生成树的更强下界

排列置换与逆置换的原地算法及参数化最小生成树的更强下界

排列置换与逆置换的原地算法

在排列逆置换问题中，目标是设计一个高效的算法，在较小的空间复杂度下完成排列的逆置换操作。

1. 算法思路
   • 该算法是对已有算法的扩展，遵循在到达循环的领导者时反转每个循环的自然思路，但存在一些额外的技术复杂性。
   • 从左到右进行操作，当检测到 i 是领导者时，反转其循环。不过，这可能会创建一个领导者 i' > i 的循环，该循环在未来会再次被反转。
2. 相关定义
   • 硬循环与软循环 ：对于排列 π 的一个循环 C ，如果其最佳 b - 楼梯 (i, ..., m, ..., i') 满足 i' > i ，则称该循环为硬循环；否则为软循环。
   • 切割操作 ：为处理硬循环，引入在 y = π(x) 之前切割的概念。通过设置 π(x) ← ⊥ （ ⊥ 称为空值）将循环转换为路径 P ，其中 y 是路径的第一个元素， x