16、广义圆盘图：算法与结构性质解析

广义圆盘图：算法与结构性质解析

1. 加权独立集近似算法

在图论中，最大加权独立集（MWIS）问题是一个经典问题。给定一个图 $G$ 以及对其顶点的正权重分配 $w : V(G) \to \mathbb{R}^+$，目标是计算图 $G$ 中具有最大权重 $\sum_{v\in I} w(v)$ 的独立集 $I$。在无线网络建模中，MWIS 是广义圆盘图（GDGs）上最为突出的问题之一。即使是最大独立集（MIS）问题（即每个顶点权重 $w(v) = 1$ 的 MWIS 问题）在 GDGs 中也是 NP 完全的，因为它在单位圆盘图（单位圆盘图是 GDG$_{\eta,t}^f$ 的一个子类）中就是 NP 完全的。

不过，借助图的几何表示，我们可以利用相关结果得到多项式时间近似方案（PTAS）。对于 $\mathbb{R}^m$ 中的对象集合 $C$，打包问题是找到最大的不相交对象子集合，这对应于求解 $C$ 的几何相交图中的 MIS 问题。对象 $S$ 的大小定义为其最小包围超立方体的边长。若存在常数 $c$，使得对于任意的 $r$ 和大小为 $r$ 的轴对齐盒子 $R$，都存在大小为 $c$ 的集合 $T \subseteq \mathbb{R}^m$，使得对于每个大小至少为 $r$ 的对象 $S$，若 $R \cap S \neq \varnothing$ 则 $T \cap S \neq \varnothing$，那么集合 $C$ 就是胖的。

Chan 给出了一个 $(1 + \epsilon)$ - 近似算法，用于解决 $\mathbb{R}^m$ 中胖对象的打包问题，其运行时间和空间复杂度为 $n^{O(1/\epsilon^{m - 1})}$。我们对图 $G \in$