19、嘈杂量子信道下的经典信息传输

嘈杂量子信道下的经典信息传输

1. 引言

在量子通信里，Alice想要借助量子系统Q这个通信信道把经典信息传递给Bob。Alice会以先验概率$p_x$将信道准备成不同的量子态$W_x$，Bob则对系统Q开展测量，再依据测量结果去推断Alice所准备的状态。Gordon和Levitin提出、Kholevo证明的一个定理，为Bob能从Alice的信号中获取的信息量设定了上限。若$W = \sum_x p_x W_x$是描述Alice信号系综的密度算符，那么Alice的输入$X$和Bob的输出$Y$之间的互信息$H(X:Y)$会受到如下限制：
$H(X:Y) \leq H(W) - \sum_x p_x H(W_x)$
这里的$H(W) = -Tr W \log_2 W$，是密度算符$W$的冯·诺伊曼熵。一般而言，上述公式给出的上限比较宽松，因为Bob或许无法选出一个能让他获得接近上限信息量的可观测量。

近期，Hausladen等人指出，要是Alice的信号态$W_x$为纯态，那么通过恰当选择Alice的编码以及Bob的解码可观测量，就能够逼近Kholevo界$H(W)$。具体做法如下：
- 运用长信号串来一同发送多个独立消息。
- “修剪”用作码字的字符串集合，让码字具备足够的可区分性。
- 挑选一个作用于整个信号串的合适解码可观测量。
当$L$足够大时，长度为$L$的码字能够传输多达$L H(W)$比特的信息（也就是每字母$H(W)$比特），并且错误概率可以任意低。

这自然就引出了一个推广问题：假设Alice采用的信号态$W_x$是混合态，那么Alice和Bob能否找到一种编码和解码可观测量的选择，从而任意接近一般的Kh