【BZOJ 2818】Gcd - 筛法求素数&phi()

题目描述

给定整数$N$，求$1\leq x,y\leq N$且$\gcd(x,y)$为素数的数对$(x,y)$有多少对.
$1\leq N\leq 10^7$

分析

首先筛出所有的素数。
我们考虑枚举素数p，统计满足$\gcd(x,y)=p$的个数，等价于统计$\gcd({x\over p},{y\over p})=1$的个数，即统计$[1,{N\over p}]$以内满足互质的有序数对个数$d_{N/p}$。
不难发现$d_1=1，d_i=d_{i-1}+2*\phi(i)$，也就是说，我们只要预处理出欧拉函数$\phi$，就可以在$O(n)$之内求出$d$。
我们只需要用线性筛预处理出素数和欧拉函数，然后求$d$，就可以在$O(n)$内解决问题。

代码

#include <cstdio>

typedef long long lint;

const int N=10000010;

int n;

int vis[N];
int pri[N];
int phi[N];

lint d[N];

lint res;

int main(void)
{
    scanf("%d",&n);

    vis[0]=vis[1]=1,phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!vis[i]) pri[++pri[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1;j<=pri[0];j++)
        {
            if ((lint)i*pri[j]>n) break;
            vis[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j])
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }

    d[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        d[i]=d[i-1]+phi[i]*2;

    for (int i=1;i<=pri[0];i++)
        res=res+d[n/pri[i]];
    printf("%lld\n",res);

    return 0;
}