【CodeForces 339B】Red and Blue Balls 找规律

题目

一个栈内初始有n个红色和蓝色的小球，请你按照以下规则进行操作：
1. 只要栈顶的小球是红色的，将其取出，直到栈顶的球是蓝色.
2. 然后将栈顶的蓝球变成红色.
3. 最后放入若干个蓝球直到栈中的球数为$n$.
以上3步骤为一次操作.
如栈中都是红色球，则操作停止，请问几次操作后停止.

样例1：RBR， 样例2：RBBR

分析

操作是确定的，没有决策，现在要求求次数.

首先的想法必然是直接模拟，然而会TLE.
考虑设数来求解.

设$f_i$表示二进制状态为$i$所需的操作次数.
先研究$f_i$的一些性质.

先考虑一个蓝球放在栈自顶向下的第$k$个位置，发现它变成红色需要$f_{2^{k-1}}=2^{k-1}$次.

接着我们作出假设：蓝球是不会互相影响的，这样的话我们就可以把各个球累加.
即：$\forall a,b，f(a+b)=f(a)+f(b)$.
经数据验证这猜想应该是成立的.

所以问题在$O(n)$得以解决，注意使用lld.

小结

这种直接模拟的计数问题，通常有模拟和设元的方法.

但是模拟通常会超时，用于对拍，最好还是要设元.

设元的步骤如下：
① 设元$f$
② 从小数据或者特殊数据研究$f$的性质
③ 解出$f$的递推式或通式

常见的两个技巧：
①找进制数的规律，然后验证$f(a)+f(b)=f(a+b)$.
②枚举小数据，求解递推式.

代码

#include <cstdio>
typedef long long lint;
int n;
lint res;
int main(void)
{
    scanf("%d\n",&n);
    for (int i=0;i<=n-1;i++)
        if (getchar()=='B') res|=1ll<<i;
    printf("%lld\n",res);
    return 0;
}