动态规划

我们来看看动态规划百度百科的定义：动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优的解。动态规划算法与分治类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

从定义上，我们可以得到以上信息：

1.动态规划的基本思想是将大问题拆分为各种小问题；

2.各种小问题之间的结果不是互相独立的；

定义上说，动态规划与分治类似，我们主要谈实现，不谈概念，而递归是分治的一种具体实现形式，因此我们用递归和动态规划对比着来说；

例子是最好的老师，我们以求”最长公共子序列长度“为例，这是一个很经典的算法；

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串a：BDCABA；字符串b：ABCBDAB，则这两个字符串的最长公共子序列长度为4；

递归的本质就是程序的方法自身调用自身，在到达一个条件的时候停止调用，因此递归的一个重要原则就是要找到递归出口，否则就是死循环；

下面是使用递归的代码：

int Lcs(string a, int n, string b, int m)
{
    if(n == 0||m == 0)
        return 0;
    else if(a[n-1]==b[m-1])
    {
        return Lcs(a, n-1, b, m-1) + 1;
    }
    else
        return max(Lcs(a, n, b, m-1),Lcs(a, n-1, b, m));
}

其中n为字符串a的长度，m为字符串b的长度；

下面是使用动态规划求最长公共子序列长度的代码:

    int len1=a.length();
    int len2=b.length();
    int dp[100][100]={0};
    for(int i=1;i<len1;i++)
    {
        for(int j=1;j<len2;j++)
        {
            if(s[i]==t[j])
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    cout<<dp[len1-1][len2-1]<<endl;

其中dp[i][j]表示ai和bj最长子序列的长度，可以看到这里动态规划就已经在将问题拆分；

从上面两个代码可以看，递归和动态归划的主要思路是一致的，即如果a字符串最后一个字符等于b字符串最后一个字符，那么最大值就等于a,b都剔除最后一个字符串后序列的最大值加1，否则就是a剔除最后一个值或者b剔除最后一个值后子序列的最大值；

在递归或者或者动态规划中，难点就是寻找这种思路，这也是解决问题的核心，这有个名字叫做状态转移方程，我们以一个公式来表示这个状态转移方程：

如果dp[i][j]表示子序列ai和bj的最长子序列，那么：

dp[0][0]=dp[i][0]=dp[0][j]=0;

dp[i][j]={ dp[i-1][j-1]+1 ai=bj,i>1&&j>1;

               max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]), ai != bj,i>1&&j>1 }

动态规划的主要工作就是在找这种公式,注意这种公式是一种递推公式。

其实动态规划也是一种递归，一般能用动态规划的地方都能用递归，那为什么递归出现之后还要有动态规划呢？这就涉及到程序设计的空间和时间概念，动态规划相比于递归，是一种以空间换时间的优化方法；

从上面例子可以看出，在动态规划中，我们用一个数组dp保存了每一个子序列的最大值，相比于递归，这明显浪费了程序空间，但是另一方面，我们也可以看到，动态规划每一步（例dp[i-1][j-1],dp[i-2][j-1]等）都仅仅计算了一次，而递归却涉及到大量的重复计算，当字符串过大时，这对于程序的效率来说是一个致命的打击；

递归和动态规划解决问题的思路都是从顶层不断迭代到底层，但是实现形式却是相反的，递归是从顶向低求解，而动态规划则是从低向上的形式（循环），这是因为动态规划的大问题依赖于小问题的求解，动态规划需要把小问题的解保存下来以节约时间；

一个网友说过一句话：计算机解决问题其实没有任何奇技淫巧，它唯一的解决办法就是穷举，穷举所有可能性。算法设计无非就是先思考“如何穷举”，然后再追求“如何聪明地穷举”。动态规划就是在追求“如何聪明地穷举”。用空间换时间的思路，是降低时间复杂度的不二法门，除此之外，试问，还能玩出啥花活？

https://www.cnblogs.com/rise0111/p/11471407.html

最后，推荐几个讲动态规划的博客，自己从中受益很多：

https://blog.youkuaiyun.com/ailaojie/article/details/83014821注：这个博客里概念讲得很清晰，但是个人感觉使用动态规划的例子好似有问题。

https://www.cnblogs.com/chihaoyuIsnotHere/p/10138087.html

https://blog.youkuaiyun.com/csdn2497242041/article/details/88097408