剑指Offer(第二版)面试题14:剪绳子

该博客探讨了剑指Offer(第二版)中的面试题14,即如何将一根长度为n的绳子剪成m段,以获得最大乘积。通过分析动态规划的四个特征,确定问题适合使用动态规划解决。当n大于等于5时,最佳策略是尽可能剪成长度为3的段,以最大化乘积。同时,对比了动态规划和贪婪算法的空间及时间复杂度。

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剑指Offer(第二版)面试题14:剪绳子

  • 题目一:给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成m段 (m和n都是整数,n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m].请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度为8时,我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段,此时得到的最大乘积是18.

我们首先看看这道题是不是符合动态规划的四个特征:

  • 求一个问题的最优解。
  • 整体的问题的最优解是依赖于各个子问题的最优解
  • 小问题之间还有相互重叠的更小的子问题
  • 从上往下分析问题,从下往上求解问题
    这道题很明显复合这四个特征故我们可以使用动态规划求解。但在动笔之前我们可以思考与动态规划很相像的一个算法-贪婪算法。
    当n大于等于5时,我们尽可能多的剪长度为3的绳子;当剩下的绳子长度为4时,把绳子剪成两段长度为2的绳子。
  • 为什么选2,3为最小的子问题?因为2,3包含于各个问题中,如果再往下剪得化,乘积就会变小。
  • 为什么选长度为3?因为当n≥5时,3(n-3)≥2(n-2)

参考代码

动态规划:空间复杂O(n),时间复杂O(n2)。
贪婪算法:空间时间均为O(1)。

#include <cmath>
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