欧几里德算法扩展

• 欧几里德算法（辗转相除法）

由计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a%b)得到算法如下：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b == 0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

• 欧几里德扩展

欧几里德扩展用来求方程ax+by = 1的解
首先进行第一个状态的转换：
我们知道gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
所以有bx+a%b*y = 1
又a%b = a-(a/b)*b
代入上式，得到ay1+b(x1-(a/b)y1) = 1 
两式对比，有：
x = y1
y = x1-(a/b)y1


就是说我们可以从最后一个状态推到最初的状态，而最后一个状态b == 0
所以我们可以写出递归算法如下：

//递归方法一
int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int ans;
    if(b == 0){ ans = a;x = 1;y = 0;}
    else{
        extgcd(b,a%b,x,y);
        int temp = x;
        x = y;
        y = temp-(a/b)*y;
    }
    return ans;
}

//简化下代码，如下所示
//递归方法二
int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int ans;
    if(b == 0){ ans = a;x = 1;y = 0;}
    else{ ans = extgcd(b,a%b,y,x); y -= (a/b)*x;}
    return ans;
}