Codevs 2287 火车站

Codevs 2287 火车站

---

题目描述 Description

火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第2站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定的规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。现给出的条件是：共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。试问从x站开出时车上的人数是多少？若无解输出“No answer.”（所有数据均在longint范围内）

---

输入输出

---

输入描述 Input Description

a，n，m和x

输出描述 Output Description

x站开出时车上的人数

---

样例

---

样例输入 Sample Input

1　6　7　3

样例输出 Sample Output

2

---

数据范围及提示 Data Size & Hint

无

分析

根据题意，我们可以设m[i]为a的系数，n[ i]为b的系数；
那么

站点	1	2	3	4	5	6	7
上车f	a	x	a+x	a+2x	2a+3x	3a+5x	5a+8x
下车d	0	x	x	a+x	a+2x	2a+3x	3a+5x
人数s	a	a	2a	2a+x	3a+2x	4a+3x	6a+6x

根据题意（3站后的上车人数等于前两站的上车人数和的定义）我们可以得出上车人数显然为斐波那契数列；

fi]:=f[i-1]+f[i-2];
f[i]:=m[i]*a+n[i]*x;
d[i]:=f[i-1];
s[i]:=s[i-1]+f[i]-d[i]
s[i]:=s[i-1]+f[i-2];
s[i]:=s[i-1]+m[i-2]*a+n[i-2]*x;
接下来 有两种推导s[i]的办法，表示本人较笨。。。选用了一种较笨的方法。

---

推导

---

方法1

分析即可的，车上的人数即为一开始的人数加上每次的净上车量（上车人数-下车人数）；那么写开叠加如下

车站	净人数叠加
1	n[1]*a+m[1]*x-d[1]
2	n[2]*a+m[2]*x-d[2]
3	n[3]*a+m[3]*x-d[3]
4	n[4]*a+m[4]*x-d[4]
5	n[5]*a+m[5]*x-d[5]
…	…
i	n[i]*a+m[i]*x-d[i]
3~i	n[i]*a+m[i]*x-d[3]

然后由题中的关系可以得出
n[i]*a+m[i]*x=d[i] (下车人数等于前一站的上车人数,从第三天开始，i>=3)
边界 n[1]:=1; n[2]:=0; n[3]:=1;
m[1]:=0;m[2]:=1;m[3]:=1;
d[1]:=0; d[2]:=x d[3]:=x
然后对表格中的数据叠加

---

即可得到

s[i]：
=n[1]*a+m1[1]*x-d[1]+n[2]*a+m[2]*x-d[2]+n[i]*a+m[i]*x-d[3]
=a+x-x+n[i]*a+m[i]*x-x
=(n[i]+1)*a+(m[i]-1)x

---

所以我们就得到了车上人数的计算公式。
有题目中的n站时所有人下车m人得出n-1站有m人。所以

m=s[i-1]=(n[i-1]+1)*a+(m[i-1]-1)*x
x=(m-(n[i-1]+1)*a) div (m[i-1]-1);
要求((m-(n[i-1]+1)*a) mod (m[i-1]-1))=0
否则无解（人不能有小数个）；

---

方法二

由如下式变换

fi]:=f[i-1]+f[i-2];
f[i]:=m[i]*a+n[i]*x;
d[i]:=f[i-1];
s[i]:=s[i-1]+f[i]-d[i]
s[i]:=s[i-1]+f[i-2];
s[i]-s[i-1]:=f[i-2]

右侧很熟悉，进行叠加
如下(由于i-2>=2所以，i>=4时进行叠加)

s[n]-s[n-1]	f[n-2]
s[i]-s[i-1]	f[i-2]
s[i-1]-s[i-2]	f[i-3]
s[i-2]-s[i-3]	f[i-4]
s[i-3]-s[i-4]	f[i-5]
s[i-4]-s[i-5]	f[i-6]
…	…
s[6]-s[5]	f[4]
s[5]-s[4]	f[3]
s[4]-s[3]	f[2]

叠加结果如下

s[i]-s[3]:=(f[2]+f[3]+…+f[i-2])
s[i]-s[3]:=(n[2]+n[3]+…+n[i-2])*a+(m[2]+m[3]+m[4]+…+m[i-2])*b
结合斐波那契数列求和公式
如下
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]

f[n-2]:=f[n]-f[n-1];
f[n-3]：=f[n-1]-f[n-2];
….
f[3]:=f[2]-f[1]
f[3]+…+f[n-2]:=f[n]-f[1];
f[1]+f[2]
+f[3]+…+f[n-2]:=f[n]+f[2];
S[n]:=s[n+2]+f[2];
上述式子可化为
s[i]:=(m[i]-1)*a+(n[i]-1)*x+2a
s[i]:=(m[i]+1)*a+(n[i]-1)*x

两种方法推导完毕。
接下来就是代码实现即可

---

代码如下

program p2287;
var k,n,m,a,x,i:longint;
    f:array[1..100000,1..2] of longint;

begin
 readln(a,n,m,x);
 f[1,1]:=1;  f[1,2]:=0;
 f[2,1]:=0;  f[2,2]:=1;
 f[3,1]:=1;  f[3,2]:=1;
 for i:=4 to n do
  begin
   f[i,1]:=f[i-1,1]+f[i-2,1];
   f[i,2]:=f[i-1,2]+f[i-2,2];
  end;
 if ((m-(f[n-1,1]+1)*a)mod (f[n-1,2]-1))<>0 then write('No answer.')
  else
   begin
    k:=(m-(f[n-1,1]+1)*a) div (f[n-1,2]-1);
    write((f[x,1]+1)*a+(f[x,2]-1)*k);
   end;
end.

---

测试结果

运行结果
测试点#work2_2.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 0ms
测试点#work2_3.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 0ms
测试点#work2_4.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 0ms
测试点#work2_5.in 结果:AC 内存使用量: 256kB 时间使用量: 0ms

---

阅读资料

关于Fibonacci数列的求和公式

番外

---

雪花的快乐

     ——徐志摩

假如我是一朵雪花，
翩翩的在半空里潇洒，
我一定认清我的方向——
飞飏，飞飏，飞飏——
这地面上有我的方向。
不去那冷寞的幽谷，
不去那凄清的山麓，
也不上荒街去惆怅——
飞飏，飞飏，飞飏——
你看，我有我的方向！
在半空里娟娟地飞舞，
认明了那清幽的住处，
等着她来花园里探望——
飞飏，飞飏，飞飏——
啊，她身上有朱砂梅的清香！
那时我凭借我的身轻，
盈盈地，沾住了她的衣襟，
贴近她柔波似的心胸——
消溶，消溶，消溶——
溶入了她柔波似的心胸