【算法笔记4.5小节-二分】二分

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本文深入探讨了二分查找算法及其在不同场景中的应用，包括严格递增序列的查找、重复元素序列的区间定位、函数根求解、近似计算、装水问题和木棒切割问题。通过具体实例和代码解析，展示了算法的设计与实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在一个严格递增序列A中找到给定的数x，输出其在数组中的下标。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
/*
在一个严格递增序列A中找到给定的数x，输出其在数组中的下标。
*/
int a[10]={3,7,8,11,15,21,33,52,66,88};;
int binsearch(int left, int right, int x)
{
     while(left<=right)
     {
        // int mid = (left+right)/2;   //有可能溢出
         int mid = left + (right - left)/2;  //替换
         if(a[mid]==x)
            return mid;
         if(a[mid]<x)
            left = mid+1;
         if(a[mid]>x)
            right =mid-1;
     }
     return -1;

}
int main()
{
    int x = 11;
    int index = binsearch(0,9,x);
    printf("%d在数组a中的下标为%d\n",x, index);
}

如果递增序列A中的元素可能重复，那么如何对给定的欲查询元素x,求出序列中第一个大于等于x的元素的位置L以及第一个大于x的元素的位置R，这样元素x在序列中的存在区间就是左闭右开区间[L，R)。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
/*
如果递增序列A中的元素可能重复，那么如何对给定的欲查询元素x,求出序列中
第一个大于等于x的元素的位置L以及第一个大于x的元素的位置R，这样
元素x在序列中的存在区间就是左闭右开区间[L，R)
*/
int a[10]={1,3,3,3,6};
//第一问：求序列中的第一个大于等于x的元素的位置.
int binsearch_1(int left, int right, int x)
{
     while(left<right)  //对[left,right]来说,left==right意味着找到了唯一位置
     {
         int mid = left + (right - left)/2;  //取中间点
         if(a[mid]>=x)
            right = mid;
         if(a[mid]<x)
            left = mid+1;
     }
     return left;   //  返回夹住的位置
}

//求序列中第一个大于x的元素的位置
int binsearch_2(int left, int right, int x)
{
    while(left<right)  //对[left,right]来说,left==right意味着找到了唯一位置
     {
         int mid = left + (right - left)/2;  //取中间点
         if(a[mid]>x)
            right = mid;
         if(a[mid]<=x)  //不同点
            left = mid+1;
     }
     return left;
}

int main()
{
    int x = 3;
    int l = binsearch_1(0,4,x);
    int r = binsearch_2(0,4,x);
    printf("[%d, %d]\n",l, r);
}

计算 $\sqrt{}2$ 的近似值。

#include<stdio.h>
const double eps = 1e-5;     //精度为10^(-5)
double f(double x){         //计算f(x)
    return x*x;
}
double calSqrt()
{
    double left=1, right=2, mid;    //[left,right]=[1,2]
    while(right - left > eps){
        mid = (left + right) / 2;
        if(f(mid)>2){
            right = mid;
        }
        else
            left = mid;
    }
    return mid;
}

int main()
{
    printf("%.5lf\n",calSqrt());
}

//运行结果：1.41421

给定一个定义在[L,R]上的单调函数f(x),求f(x)=0的根。

#include<stdio.h>
/*
给定一个定义在[L,R]上的单调函数f(x),求f(x)=0的根。
假设函数f(x)在[L,R]上递增。
*/
const double eps = 1e-5;     //精度为10^(-5)
double f(double x){         //计算f(x)
    return x*x-2;
}
double solve(double L, double R)
{
    double left=L, right=R, mid;    //[left,right]=[1,2]
    while(right - left > eps){
        mid = (left + right) / 2;
        if(f(mid)>0){
            right = mid;
        }
        else
            left = mid;
    }
    return mid; //所返回的当前mid值即为f(x)=0的根
}

int main()
{
    printf("%.5lf\n",solve(1,2));
}

//运行结果：1.41421

装水问题：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
/*
装水问题
*/
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-5;     //精度为10^(-5)
double f(double R, double h){         //计算f(x)
    double alpha = 2*acos((R-h)/R);
    double L=2*sqrt(R*R-(R-h)*(R-h));
    double s1 = alpha*R*R/2 - L*(R-h)/2;
    double s2 = PI*R*R/2;
    return s1/s2;
}
double solve(double R, double r)
{
    double left=0, right=R, mid;    //[left,right]=[1,2]
    while(right - left > eps){
        mid = (left + right) / 2;
        double t = f(R,mid);
        if(t>r){
            right = mid;
        }
        else
            left = mid;
    }
    return mid; //所返回的当前mid值即为f(x)=0的根
}

int main()
{
    double R=10,r=0.5;

    printf("%.4f\n",solve(R,r));
}

//运行结果：1.41421

6. 木棒切割问题: 给出N根木棒，长度均已知，现在希望通过切割它们来得到至少K段长度相等的木棒(长度必须是整数), 问这些长度相等的木棒最长能有多长。参考代码：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42717165/article/details/87161259

N = 3 K= 7

10 24 5

//运行结果 6

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
//木棒切割问题
int main()
{
    int N,K,a[3];
    scanf("%d%d",&N,&K);
    int right = 0;  //保存最大长度
    for(int i=0; i<N; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]>right)
            right = a[i];
    }
    int left = 1;
    right++;
    //printf("%d\n",right);
    while(left+1<right) //(left,right] ,left+1==right 意味着唯一位置即最后的位置
    {
        int mid = (left+right)/2;
        int k=0;

        for(int i=0; i<N; i++)
            k+=a[i]/mid;

        if(k<K) right = mid;    //条件成立
        else left = mid;
    }
    printf("%d\n",right-1);
    return 0;
}

7 . 给出n个线段的长度，试将它们头尾(顺序任意)地组成一个凸多边形,使得凸多边形的外接圆的半径最大，求该最大半径。其中n不超过10^5,线段长度均不超过100.要求算法中不涉及坐标的计算。(待解决)

8. 快速幂

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
/*
求a^b%m，递归写法
*/
typedef long long LL;
LL binpow(LL a, LL b, LL m){
    if(b==0) return 1;  //如果b为0，那么a^0=1
    //b为奇数，转换为b-1
    //b&1 位与操作，判断b的末位是否为1
    if(b&1) return a*bin(a, b-1,m)%m;
    else{   //b为偶数,转换为b/2
        LL mul = binpow(a, b/2, m);
        return mul*mul%m;
    }
}

/*
求a^b%m，迭代写法
*/

LL binpow_1(LL a, LL b, LL m)
{
    LL ans=1;
    while( b > 0)
    {
        if(b & 1)
        {
             ans = ans * a % m;
        }
        a = a * a % m;//令a平方
        b >>= 1;    //右移，除2
    }
    return ans;
}
int main()
{
 
    return 0;
}