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最新推荐文章于 2020-12-25 11:13:33 发布

蜗角虚名羊

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分类专栏：计数树图论

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本文探讨了组合数学在图论中的应用，特别是如何计算图中特定边被选择的概率。通过对选择节点的不同情况进行分析，提出了一个高效算法，并通过代码实现了具体的计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目
 题解

对任意边(u,v)
设a=以v为根的子树的点
b=n-a
那这条边被选择的次数=C(a,1)*C(b,k-1)+C(a,2)*C(b,k-2)+C(a,3)*C(b,k-3)+…..
显然这样肯定会TLE
不妨换个角度
考虑从n个点中选择k个点一共有C(n,k)总情况
当k个点全在a中选出来或 k个点全在b中选出来的情况是要排除的
所以这条边被选择的次数为C(n,k)-C(a,k)-C(b,k)

计算 $a$ 和 $b$ 有两种方法，一种是题解里的代码，计算每条边的 $a$ 和 $b$ ，还有一种是计算一个点的子树大小，这时可能会出错，要注意一下：
设一个点子树大小为 $sz[i]$ ，对于 $(u,v)$ 这条边，可能是 $a=sz[u]，b=n-a$ ；也可能是 $a=sz[v]，b=n-a$ ，所以需要指定一下计算顺序，我是在 $dfs$ 时计算儿子和父亲的，这样保证了一个顺序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1e9+7,N=100002;
struct node{
    int from,to,ne;
}e[N<<1];
int sz[N],h[N],n,k,i,j,a,b,tot,u,ans,v;
ll c[N],p,inv,x,y;
inline char gc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    int x=0,fl=1;char ch=gc();
    for (;ch<48||ch>57;ch=gc())if(ch=='-')fl=-1;
    for (;48<=ch&&ch<=57;ch=gc())x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
    return x*fl;
}
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (!b) x=1,y=0;
    else ex_gcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
void dfs(int u,int fa){
    sz[u]=1;
    for (int i=h[u],v;i;i=e[i].ne)
        if ((v=e[i].to)!=fa) dfs(v,u),sz[u]+=sz[v];
    a=sz[u];b=n-a;
    (ans+=(c[n]-c[a]-c[b])%M)%=M;
}
void add(int x,int y){
    e[++tot]=(node){x,y,h[x]};
    h[x]=tot;
}
int main(){
    n=read();k=read();
    for (i=1;i<n;i++) x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x);
    p=1;
    for (i=2;i<=k;i++) p=p*i%M;
    c[k]=p;
    ex_gcd(p,M,inv,y);
    for (i=k+1;i<=n;i++){
        ex_gcd(i-k,M,x,y);
        c[i]=c[i-1]*i%M*x%M;
    }
    for (i=k;i<=n;i++) c[i]=(c[i]*inv%M+M)%M;
    dfs(1,0);
    printf("%d",(ans+M)%M);
}