【51nod1677】treecnt（树上数学题）

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大致题意： 给你一个节点从1~n编号的树，让你从中选择k个节点并通过选择的边联通，且要使选择的边数最少，让你计算对于所有选择k个节点的情况最小选择边数的总和。

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题解

这道题乍一看很麻烦：最短路径？最小生成树？$LCA$？通通都不用！！！

其实，这道题就是一道很简单的数学题。

如上图所示，对于某一条边w，假设它的一边共有t个节点，则显然它的另一边共有n-t个节点。

对于一条边的贡献，我们可以这样理解：在多少种情况下，这条边的两边都有被选入k个点中的点，此时这个点就必须被选。

而对于这些点的分布，有以下三种情况：

①这条边的两边都有点被选，这种情况的可能性就是我们要求的，但是难以直接计算。

②所有被选中的点都在这条边的左面，由于这条边的左边共有t个点，因此这种情况的可能性为$C_t^k$。

③所有被选中的点都在这条边的右面，由于这条边的右边共有n-t个点，因此这种情况的可能性为$C_{n-t}^k$。

由于总情况数为$C_n^k$，所以，这条边的两边都有点被选的可能性就是$C_n^{}$