最小生成树与Prim算法-优快云博客

6.4 图的应用

6.4.1 最小生成树

1，最小生成树的基本概念

如果是一个无向连通图，那么它的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小代价生成树，简称最小生成树。

2，普里姆算法(Prim)

假设G=（V，E）为一无向连通图，其中V为网中顶点的集合，E为网中边的集合。设置两个新的集合U和T，其中，U为G的最小生成树的顶点的集合，T为G的最小生成树的边的集合。普里姆算法的思想是：令集合U的初值为U={u1}（假设构造最小生成树时从顶点u1开始），集合T的初值为T={}。从所有的顶点u属于U和顶点v属于V-U的带权边中选出具有最小权值的边(u,v)，将顶点v加入集合U中，将边(u,v)加入集合T中。如此不断重复直到U=V时，最小生成树构造完毕。

上面两个无向连通图的最小生成树过程为：

根据邻接链表存储结构实现Prim算法：（邻接链表的实现在前面的博客）

        public void Prim()
        {
            bool[] markers = new bool[NodeNum];

            Dictionary<AdjListNode<T>, VexListNode<T>> dic = new Dictionary<AdjListNode<T>, VexListNode<T>>();

            for (int j = 0; j < NodeNum; j++)
            {
                VexListNode<T> vexNode = null;
                AdjListNode<T> adjNode = null;
                for (int i = 0; i < NodeNum; i++)
                {
                    VexListNode<T> currentVexNode = vexList[i];
                    AdjListNode<T> currentAdjNode = vexList[i].FirstAdj;

                    while (currentAdjNode != null)
                    {
                        if (markers[currentAdjNode.AdjVexIndex] ^ markers[i])
                        {
                            if (adjNode == null || currentAdjNode.Weight < adjNode.Weight)
                            {
                                vexNode = currentVexNode;
                                adjNode = currentAdjNode;
                            }
                        }

                        currentAdjNode = currentAdjNode.Next;
                    }
                }

                if (vexNode != null)
                {
                    dic.Add(adjNode, vexNode);

                    if (markers[adjNode.AdjVexIndex] == false)
                        markers[adjNode.AdjVexIndex] = true;
                    else
                        markers[IsNode(vexNode.Node)] = true;
                }
                else
                {
                    for (int m = 0; m < NodeNum; m++)
                    {
                        if (markers[m] == false)
                        {
                            markers[m] = true;
                            break;
                        }
                    }
                }
            }

            foreach (var i in dic.Keys)
            {
                Console.WriteLine(dic[i].Node.Value.ToString() + " -> " + i.Weight + " -> " + vexList[i.AdjVexIndex].Node.Value.ToString());
            }
        }

示例图：

调用代码：

            GraphAdjList<int> adjList = new GraphAdjList<int>(100);

            //Inial graph object
            GraphNode<int> node1 = new GraphNode<int>(1);
            GraphNode<int> node2 = new GraphNode<int>(2);
            GraphNode<int> node3 = new GraphNode<int>(3);
            GraphNode<int> node4 = new GraphNode<int>(4);
            GraphNode<int> node5 = new GraphNode<int>(5);
            GraphNode<int> node6 = new GraphNode<int>(6);
            GraphNode<int> node7 = new GraphNode<int>(7);
            GraphNode<int> node8 = new GraphNode<int>(8);

            adjList.SetNode(node1);
            adjList.SetNode(node2);
            adjList.SetNode(node3);
            adjList.SetNode(node4);
            adjList.SetNode(node5);
            adjList.SetNode(node6);
            adjList.SetNode(node7);
            adjList.SetNode(node8);

            adjList.SetEdge(0, node2, node1, 2);
            adjList.SetEdge(1,node1, node3, 4);
            adjList.SetEdge(2,node1, node4, 4);
            adjList.SetEdge(3, node1, node5, 3);
            adjList.SetEdge(4, node2, node3, 3);
            adjList.SetEdge(5, node2, node4, 1);
            adjList.SetEdge(6, node2, node5, 2);
            adjList.SetEdge(7, node3, node4, 4);
            adjList.SetEdge(8, node3, node5, 4);
            adjList.SetEdge(9, node5, node4, 2);
            adjList.SetEdge(10, node6, node7, 3);
            adjList.SetEdge(11, node8, node6, 2);
            adjList.SetEdge(12, node7, node8, 3);


            adjList.Prim();
            adjList.Kruskal();
            System.Console.ReadKey();

输出：

2 -> 2 -> 1
2 -> 1 -> 4
2 -> 2 -> 5
2 -> 3 -> 3
8 -> 2 -> 6
6 -> 3 -> 7