矩阵求逆的快速算法

龚敏敏

矩阵求逆的快速算法

算法介绍 矩阵求逆在3D程序中很常见，主要应用于求Billboard矩阵。按照定义的计算方法乘法运算，严重影响了性能。在需要大量Billboard矩阵运算时，矩阵求逆的优化能极大提高性能。这里要介绍的矩阵求逆算法称为全选主元高斯-约旦法。 高斯-约旦法（全选主元）求逆的步骤如下： 首先，对于 k 从 0 到 n - 1 作如下几步： 从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素所在的行号和列号，在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上。这一步称为全选主元。 m(k, k) = 1 / m(k, k) m(k, j) = m(k, j) * m(k, k)，j = 0, 1, ..., n-1；j != k m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j)，i, j = 0, 1, ..., n-1；i, j != k m(i, k) = -m(i, k) * m(k, k)，i = 0, 1, ..., n-1；i != k 最后，根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下：在全选主元过程中，先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。 实现(4阶矩阵)

float Inverse(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& rhs)
...{
    CLAYMATRIX m(rhs);
    DWORD is[4];
    DWORD js[4];
    float fDet = 1.0f;
    int f = 1;

    for (int k = 0; k < 4; k ++)
    ...{
        // 第一步，全选主元
        float fMax = 0.0f;
        for (DWORD i = k; i < 4; i ++)
        ...{
            for (DWORD j = k; j < 4; j ++)
            ...{
                const float f = Abs(m(i, j));
                if (f > fMax)
                ...{
                    fMax    = f;
                    is[k]    = i;
                    js[k]    = j;
                }
            }
        }
        if (Abs(fMax) < 0.0001f)
            return 0;
        
        if (is[k] != k)
        ...{
            f = -f;
            swap(m(k, 0), m(is[k], 0));
            swap(m(k, 1), m(is[k], 1));
            swap(m(k, 2), m(is[k], 2));
            swap(m(k, 3), m(is[k], 3));
        }
        if (js[k] != k)
        ...{
            f = -f;
            swap(m(0, k), m(0, js[k]));
            swap(m(1, k), m(1, js[k]));
            swap(m(2, k), m(2, js[k]));
            swap(m(3, k), m(3, js[k]));
        }

        // 计算行列值
        fDet *= m(k, k);

        // 计算逆矩阵

        // 第二步
        m(k, k) = 1.0f / m(k, k);    
        // 第三步
        for (DWORD j = 0; j < 4; j ++)
        ...{
            if (j != k)
                m(k, j) *= m(k, k);
        }
        // 第四步
        for (DWORD i = 0; i < 4; i ++)
        ...{
            if (i != k)
            ...{
                for    (j = 0; j < 4; j ++)
                ...{
                    if (j != k)
                        m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j);
                }
            }
        }
        // 第五步
        for (i = 0; i < 4; i ++)
        ...{
            if (i != k)
                m(i, k) *= -m(k, k);
        }
    }

    for    (k = 3; k >= 0; k --)
    ...{
        if (js[k] != k)
        ...{
            swap(m(k, 0), m(js[k], 0));
            swap(m(k, 1), m(js[k], 1));
            swap(m(k, 2), m(js[k], 2));
            swap(m(k, 3), m(js[k], 3));
        }
        if (is[k] != k)
        ...{
            swap(m(0, k), m(0, is[k]));
            swap(m(1, k), m(1, is[k]));
            swap(m(2, k), m(2, is[k]));
            swap(m(3, k), m(3, is[k]));
        }
    }

    mOut = m;
    return fDet * f;
}

 

比较

	原算法	原算法(经过高度优化)	新算法
加法次数	103	61	39
乘法次数	170	116	69
需要额外空间	16 * sizeof(float)	34 * sizeof(float)	25 * sizeof(float)

结果不言而喻吧。