规划问题MATLAB求解

最新推荐文章于 2024-06-18 08:30:00 发布

原创

最新推荐文章于 2024-06-18 08:30:00 发布 · 693 阅读

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本文详细介绍了如何使用MATLAB解决线性规划、非线性规划和二次规划问题。通过具体的例子展示了MATLAB的linprog、fmincon和quadprog函数的用法，并讲解了罚函数法求解非线性规划的基本思想。

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线性规划
非线性规划

线性规划
$MATLAB\text {MATLAB}$ 线性规划的标准形式： $\min _{x} \boldsymbol{c}^{\top} \boldsymbol{x} \quad \text { s. t. } \quad \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leqslant \boldsymbol{b}$ 其中， $c\boldsymbol c$ 和 $x\boldsymbol x$ 为 $n$ 维列向量， $b\boldsymbol b$ 为 $m$ 维列向量； $A\boldsymbol A$ 为 $\times n$ 矩阵
$\max _{x} \boldsymbol{c}^{\top} \boldsymbol{x} \quad \text { s. t. } \quad \mathbf{A x} \geqslant \boldsymbol{b}$ 的 $MATLAB\text {MATLAB}$ 标准型为 $\min _{x} -\boldsymbol{c}^{\top} \boldsymbol{x} \quad \text { s. t. } \quad -\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leqslant \boldsymbol{b}$ 一般线性规划问题的标准型为 $\min z=\sum_{i=1}^{n} c_{j} x_{j} \qquad(1)$ $\text { s.t. } \quad \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j} \leqslant b_{j}, \quad i=1,2, \cdots, m \qquad(2)$ 满足约束条件 $(2)$ 的解 $x=(x1,x2,⋯ ,xn)\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 称为线性规划问题的可行解，使目标函数 $(1)$ 达到最小值的可行解称为最优解。所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为 $R$ .
$MATLAB\text {MATLAB}$ 命令函数为 $[\mathrm{x}, \mathrm { fval }]=\operatorname{linprog}(\mathrm{c}, \mathrm{A}, \mathrm{b}, \mathrm { Aeq, beq }, \mathrm{LB}, \mathrm{UB}, \mathrm{X}_0, \mathrm { OPTIONS) }$ $fval\mathrm{fval}$ 返回目标函数的值； $Aeq,beq\mathrm{Aeq,beq}$ 对应等式约束 $A x = b$ ； $LB,UB\mathrm{LB,UB}$ 分别是变量 $x$ 的下界和上界； $X0\mathrm{X_0}$ 是 $x$ 的初始值； $OPTIONS\mathrm{OPTIONS}$ 是控制参数
例1 $min z=2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}$ $\text { s. t. }\left\{\begin{array}{l}{x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3} \geqslant 8} \\ {3 x_{1}+2 x_{2} \geqslant 6} \\ {x_{1}, x_{2}, x_{3} \geqslant 0}\end{array}\right.$ 解： $\begin{array}{l}{\mathrm{c}=[2 ; 3 ; 1];} \\ {\mathrm{a}=[1,4,2 ; 3,2,0];} \\ {\mathrm{b}=[8 ; 6];} \\ {[\mathrm{x}, \mathrm{y}]=\text { linprog }(\mathrm{c},-\mathrm{a},-\mathrm{b},[ ],[ ], \mathrm{zeros}(3,1));}\end{array}$